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7.1 Die allgemeine Exponentialfunktion

Für die allgemeine Exponentialfunktion und ihre Umkehrfunktion, dem Logarithmus, gelten folgende Regeln:

x xlna a > 0 fest,a = e ,x (- R

x x+y x y a > 0,a = a a

lnax = xlna

1x = exln1 = 1

y x a0 = e0.ln a = 1(ax) = eylna = axy

x xlna a = e ,x (- R(a > 0)

V~ -- 1 1 ln nn = ln nn = --lnn '--> 0 f¨ur n '--> oo n

V~ n V~ n-= eln nn ------> e0 = 1 n'-->o o

Es sei 0 < a = x = y . Dann gilt:

x x (xx) (x ) /= x

(xx) xxlnx exlnxlnx x = e = e

Für die Reihenentwicklung von x a ergibt sich mittels der Entwicklung für die Exponentialfunktion:

2 3 ax = exlna = 1 +x ln a+ (xlna) + (x-ln-a)-+ ...= ln a 2! 3!

Damit können wir beispielsweise folgenden Grenzwert berechnen:

ax - 1 ( x(lna)2 ) lixm'-->0--x---= xli'-->m0 lna + --2!---+ ... = ln a

x { streng monoton wachsend f¨ur a > 1 y = f(x) = a : R '--> (0, oo ) ist streng monoton fallend f¨ur a < 0 < 1

| lim ax = oo |x'-->o o x f¨ur a > 1 |x'-->lim- oo a = 0

y = loga(x) ist die zugehörige Umkehrfunktion x > 0 '--> R . Für diese Umkehrfunktion gilt:

loga(ax) = x,x (- R

alog(x) = x,x > 0

log (b) = ln-b a ln a } ln xlnb logb(x) = ln-x loga(x) = ------ = logb(x)loga(b) lnb lnblna lnx loga(x) = lna

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