8.2 Tangente an eine Kurve

Sekante: $f(x0)--f(x1) S(x0,x1)(x) = f(x0)+ x0 - x1 (x- x0)$
Tangente (Grenzlage): $( ) f(x0)--f(x1)- Tf(x0)(x) = f(x0) xli'-->mx0 x0 - x1 (x- x0)$

Definition:

Falls $f(x0)- f(t) lt'-->imx0 ---x---t--- 0$ existiert, heißt er Ableitung von $f$ in $x0$ und wird durch $f'(x0)$ oder $(Df )(x0)$ bezeichnet. Anschaulich gibt $f'(x0)$ die Steigung von $Tf(x )(x) 0$ in $x0$ an. Es handelt sich also um die Steigung der Kurve $y = f(x)$ in $(x0,f(x0)$

$f(x) = |x|$ ist in $x = 0$ nicht differenzierbar, da die Ableitung nicht existiert.

f (t)- f(0) |t| lim ----------= tli'-->mt -- = lim sign(t) existiert nicht. t'-->0 t- 0 0 t t'-->0

Aus Stetigkeit folgt nicht Differenzierbarkeit.

' f(x)--f(t)- x+t=h f-(x-+-h)--f(x) f (x) = ltim'-->x --x- t--- = lhim'-->0 ------h------ Differenzenquotient (Dhf)(x)

Die Zuordnung $f': x '--> f'(x)$ ist eine Funktion (die Ableitung) von $f$ . Der Definitionsbereich ${x| f '(x)$ existiert $}$ $< I$ . Geht man von $y = f '(x)$ aus, so erhält man durch Ableiten $(f')'(x) = f ''(x)$ , nämlich die zweite Ableitung.

( ) D(Def)(x) = D2f(x) ist n-te Ableitung (Dn) (x) = f(n)(x) = D Dn -1 f(x) f¨ur n = 0,1,2,... (Induktive Definition)

f(0)(x) = f(x),n = 0

f'(x) = lim f-(x-+-h)--f(x),n = 1 n'-->0 h

Beispiele:

$f(x) = ax + b$ $f(x-+-h)--f(x) ah- h'-->0 ' Dhf (x) = h = h = a -----> f(x) = a$

$' a--a- f (x) = lhim'-->0 h = 0$
$f(x) = xn$ $(n = 0,1,2,3,...)$
Mit der Lösung der Aufgabe 3c auf dem dritten Übungsblatt ergibt sich dann:
$n n ( ) f'(x) = lim f(x)--f(t)-= lim x---t-= lim xn-1 + xn-2t+ xn-3t2 + ...+ tn-1 = nxn-1 t'-->x x - t t'-->x x - t t'-->x$

$f(x) = xn,f'(x) = nxn-1,n = 0,1,2,...$
$f(x) = ecx$ $(x (- R :$ $c (- C)$
$1 ( ) 1( ) 1 f'(x) = hli'-->m0-- ec(x+h)- ecx = ecx lhim'-->0--ech- 1 = ecx lhim'-->0-(1 +ch + o(h) - 1) = h ( ) h h = ecx lim c+ o(h) = cecx h'-->0 h$ (8.1)

$f(x) = ecx,f'(x) = cecx$

$f(x) = eix,f'(x) = ieix$

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