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8.3 Äquivalente Formulierung von Differenzierbarkeit

Satz:

f : I < R '--> C , x0 (- I : Wenn f ist in x0 differenzierbar ist, gibt es eine Zahl c (- C und eine Funktion r : I '--> C mit folgenden Eigenschaften:

  • r ist stetig und r(x0) = 0
  • f(x) = f(x ) < (x -x ) +r(x)(x- x ) 0 0 0

Beweis:
{ f(x)--f(x0)- f'(x ) f¨ur x /= x <== Setze c = f(x ) und r(x) = x- x0 0 0 ” 0 0 f¨ur x = x0

„==> Die Bedingungen 1.) und 2.) sind erfüllt. Aus 2.) folgt:

f(x)--f(x0)= c+ r(x) x - x0

f(x)- f(x ) lxim'-->x : c = lx'-->imx ---------0-= f'(x0) 0 0 x- x0

Bemerkung:

Ist f differenzierbar in x 0 , so liefert der Satz:

f(x) = f(x )+ f'(x )(x -x )+r(x)(x - x) --0----- 0------0 0 Tf(x0)(x)

f(x)- Tf(x0)(x) = r(x)(x- x0) : Fehler bei der Approximation von f(x) durch Tf(x0)(x)

Folgerung:

Es sei f in x0 differenzierbar. (x) = f(x0) = f'(x0)(x- x0)+ r(x)(x- x0) . Daraus folgt:

xli'-->mx f(x) = f(x0) : f ist stetig in x0 0

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