8.4 Elementare Ableitungsregeln

Satz:

$f$ , $g$ seien bei $x$ definiert und differenzierbar. Dann sind $f + g$ , $f .g$ und falls $g(x) /= 0$ $f g-$ in $x$ differenzierbar und es gelten:

$(f +g)'(x) = f'(x)+ g'(x)$
$' ' ' (fg) (x) = f(x)g(x)+ f(x)g(x)$ (Produktregel)
$(f-)' f'(x)g(x)---f(x)g'(x) g (x) = g2(x)$ (Quotientenregel)

Übung:

(n) (fg) = ?

(f )' 1 (f (x+ h) f(x) ) -- (x) = lim -- -------- ---- g h'-->0h g(x + h) g(x)

f(x) = xn(n = 0,1,2,...),f'(x) = nxn -1

(f(x) = a = const.,f'(x) = 0 A x)

Satz:

$' f (x)$ , $' g(x)$ mögen existieren. Dann gelten:

$(f + g)'(x) = f '(x)+ g'(x)$
$(fg)'(x) = f'(x)g(x)+ f(x)+ g'(x)$
$( )' ' ' f- (x) = g(x)f-(x)2--g(x)f(x),(g(x) /= 0) g g (x)$

$f : I (_ R '--> C,x0 (- I$ : $f'(x0) = lim f(x)--f(x0)= lim f(x0 +-h)--f(x0) x'-->x0 x - x0 h'-->0 h$ $f$ heißt auf $I$ differenzierbar, wenn $f$ in jedem $x (- I$ differenzierbar ist. Falls $f$ reellartig ist, gibt $' f(x0)$ die Steigung der Kurve $y = f(x)$ in $(x0,f(x0))$ an.

Satz:

$' f (x0)$ existiere. Dann folgt daraus, daß $' f(x) = f(x0)+-f-(x0)(x--x0)+ r(x)(x --x0)r stetig. c =0(x- x0) f(x)'-->x0$ .

Beweis zur Produktregel:

Dh(fg)(x) = 1-(f(x+ h)+ g(x+ h) -f (x)g(x+ h) +f (x)g(x+ h) -f (x)g(x)) = h = g(x+ h)(Dhf (x)) +f (x)(Dhg) (x)-h-'-->--->0 g(x)f '(x)+ f(x)g'(x) = (fg)'(x)

(8.2)

Beweis zur Quotientenregel:

( ) ( ) ( )' D 1 (x) = 1 ---1---- --1- = --(Dhg)-(x) --> - g'(x)-= 1 (x) hg h g(x + h) g(x) g(x+ h)g(x) g2(x) g

(f )' ( 1)' g- (x) = f .g (x) = mit und b.)

Beispiele:

f(x) = sinx = 1-(eix- e-ix)=-1eix - 1-e-ix 2i 2i 2i

1 1 1( ) f'(x) = 2iieix - 2ie- ix = 2 eix + e-ix = cosx

f ''(x) = 1-iie- ix = - 1-eix + 1e-ix = - 1-(eix - e- ix)= - sin x 2i2 2i 2i 2i

Übung:

Mit $(Dh sin)(x)$

2 2 f(x) = tan x = sinx , f'(x) = cos-x-+-sin-x-=-1- cosx cos2x cos2x

n f(x) = x (n = 0,1,2,...)

( ) ( ) f'(x) = nxn-1, f''(x) = n(n- 1)xn- 2 ==> f (l)(x) = n(n- 1)...(n- (l+1))xn-l = l! n xn-l, n = 0, l > n l l

f(n)(x) = n!

Kettenregel:

$I$ , $J < R$ , $g : I '--> J$ , $f : J '--> C$ . $g$ sei in $x0 (- I$ differenzierbar und $f$ in $g(x0)$ differenzierbar, dann ist $f o g$ in $x0$ differenzierbar und es gilt:

$(go g)'(x0) = f'(g(x0)) g'(x0) -¨außere-- innere Ableitung Ableitung$

Beweis:

ist plausibel: (f-o g)(x)--(f o-g)(x0)= f(g(x))--f(g(x0))-.g(x)--g(x0) x - x0 --g(x)- g(x0)-- --x-- x0-- f'(g(x0)) g'(x0)

(f o g o h)'(x) = ((f o g) o h)'(x) = (fog)'(h(x))h'(x) = f '(g(h(x)))g'(h(x))h'(x)

Beispiel:

h(x) = sin 1-= f(g(x)) mit f (x) = sinx,f'(x) = cosx;g(x) = 1,g'(x)- 1 x x x2

( 1 )( 1 ) h'(x) = cos-- - -2 x x

g(x) x ' x h(x) = e = f(g(x)),f(x) = e ,f(x) = e

h'(x) = eg(x)g'(x)

8.4.1 Ableitung der Umkehrfunktion

Satz:

$f : I '--> J$ , $f (I) < R$ , $x = f(y)$ sei bijektiv, $g : J '--> R$ , $y = g(x)$ sei die Umkehrfunktion. Es sei $f$ in $y0 (- I$ differenzierbar, es gelte $f'(y0) /= 0$ . Dann ist $g$ in $x0 = f(y0)$ differenzierbar und es gilt: