8.5 Extremwerte

Definition:

$f : I '--> R$ , $x0 (- I$ . $f$ hat in $x0$ ein

globales Maximum, wenn $f(x) < f(x0)$ $A$ $x (- I$
lokales Maximum, wenn $f(x) < f(x0)$ $A$ $x$ aus einer Umgebung von $x0$

$f$ hat in $x0$ ein globales (lokales) Minimum, wenn - $f$ in $x0$ ein globales (lokales Maximum) hat. $E$ , ein Extremwert von $f$ , ist ein Maximum oder Minimum von $f$ .

Satz:

$f : (a,b) '--> R$ besitze in $x0 (- (a,b)$ einen lokalen Extremwert. Es sei $f$ in $x0$ differenzierbar. Dann gilt: $f'(x0) = 0$ .

Beweis:

$f(x0)$ sei lokales Maximum.

f(x) - f(x0) ' f-(x)--f-(x0) x'-->xli0m,x<x0 --x---x0---> 0 } f (x0) = xli'-->mx0 x -x0 = f(x)---f(x0)- = 0 x'-->xli0m,x>x0 x - x0 < 0

Problem:

Für $f[a,b] '--> R$ sollen Extremwerte berechnet werden. Kandidaten dafür sind:

Randpunkte $a,b$
Punkte, wo $f$ nicht differenzierbar ist.
Suche die $x (- (a,b)$ mit $f '(x) = 0$

Aber:

Aus $f'(x) = 0$ folgt nicht, daß bei $x0$ ein Extremwert vorliegt.

( ) k (n) k k-j f(x) = x (k (- N),f (x) = j! j x

Satz:

$f$ sei auf $(a,b)$ definiert und in $x (- (a,b) 0$ differenzierbar. $f$ besitze in $x 0$ einen Extremwert. Dann gilt $f'(x ) = 0 0$ .

Beispiel:

f(x) = x3- x,[-1,2]

f'(x) = 3x2- 1 = 0 ==> x = ± V~ 1-: 3

( ) f + V~ 1 = -1 V~ --- V~ 1 < 0 3 3 3 3

( 1 ) 1 1 f - V~ 3 = - 3 V~ 3-+ V~ 3-> 0

f (- 1) = 0,f(2) = 6

PICT

Beispiel:

Wir notieren uns folgendes Polynom:

sum n k n p(x) = akx = a0 + a1x + ...+ anx k=0

Diese Polynom leiten wir nun $j$ mal ab, woraus sich dann ergibt:

sum n sum n k! sum n (k) p(j)(x) = ak .k .....(k- j + 1)xk-j = ak .j!j!(k--j)!xk-j = akj! j xk- j = k=j k(=j ) k=j n- j n- j = ajj!+ aj+1j!(j + 1)x+ ...an-jj! j x

(8.3)

Daraus folgt dann für $x = 0$ :

p(j)(0) = ajj! ==> aj =-1p(j)(0) j!

sum n 1 p(x) = -p(k)(0)xk k=0 k!

Bemerkung:

$f$ ist stetig in $x0$ . $/-->$ $f$ ist differenzierbar in $x0$ ( $f(x) = |x|$ , $x0 = 0$ ).
$f$ ist stetig in $x0$ . $<--$ $f$ ist differenzierbar in $x0$ ( $f(x) = |x|$ , $x0 = 0$ ).
$f$ sei differenzierbar auf $I$ . $==>$ $f'$ ist auf $I$ definiert. $/-->$ $f'$ ist stetig.

12.Übungsblatt:

1 { xnsinx- f¨ur x /= 0 f(x) = 0 f¨ur x = 0

Es sei $n = 2$ : $f '(x)$ existiert für jedes $x$ , aber $f '$ ist in 0 unstetig.

f' (- C0(I) <==> f stetig differenzierbar auf I.

f (- C1(I)

f (- Cn(I) <==> f(n-1) (- C1(I)

<==> f' (- Cn- 1(I)

f (- Co o (I) <==> f (- Cn(I) fu¨r jedes n (- N

' f(x)--f(x0) f (x0) = lxi'-->mx0 x- x0

Rechtsseitige Ableitung: $x0 = a : f'(a) = lim f-(x)--f-(x0) x'-->a,x>a x -x0$
Linksseitige Ableitung: $f(x)- f (x ) f'(x-0 ) = x'-->lxim,x<x---------0- 0 0 x- x0$
Rechtsseitige Ableitung: $+ f(x)- f (x0) f'(x0 ) = x'-->lxim0,x>x0--x--x---- 0$

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