8.6 Der Mittelwertsatz

Satz von ROLLE:

Es sei $f$ auf $[a,b]$ stetig und auf $(a,b)$ differenzierbar. $f(a) = f(b)$ . Dann gibt es ein $q (- (a,b)$ mit $' f (q) = 0$ $(q = a+ h(b- a)$ , $0 < h < 1)$

Beweis:

f (- C[a,b] ==> f besitzt in [a,b] ein Maximum und ein Minimum. f (p) = max{f(x)| x (- [a,b]},p (- [a,b].

- $f(a) = f (x)$ $A$ $x$ $==> f'(x) = 0$ $A$ $x$ : $q$ sei beliebig.
- $f(a) > f (x)$ für gewisse $x (- (a,b)$ . $==>$ Minimum ${f(x),x (- [a,b]}= f(q)$ mit $q (- (a,b)$ . $------> f '(q) = 0 Satz 5$ : $q = q$
$' p (- (a,b)-S-a-t--->z 5 f (p) = 0 : p = q$

Satz (Mittelwertsatz der Differentialrechnung):

$g$ , $f$ seien stetig auf $[a,b]$ und differenzierbar in $(a,b)$ . Dann gibt es ein $h (- (0,1)$ derart, daß $(f(b)- f(a))g'(a+ h(b- a))= (g(b)- g(a))f'(a+ h(b- a)) ----- ----- ----- ----- q q$ :

$(f (b) - f(a) f'(q)) ----------= -'--- g(b) - g(a) g (q)$

Beweis:

Wende den Satz von ROLLE auf $h(x) = (f (b)- f(a))g(x)- (g(b)- g(a))f(x)$ an.

(h(a) = h(b))

Satz:

Es sei $f$ auf $[a,b]$ stetig und auf $(a,b)$ differenzierbar. Dann gibt es eine Stelle $q (- (a,b)$ so, daß folgendes gilt:

$|-----------------| |f(a)--f(b) ' | ----b--a---=-f-(q)|$

Analogie:

' f(x) = f(x0)+ f (x0)(x- x0)+ r(x)(x - x0)

b = x,a = x : f(x) = f(x )+ f'(q)(x- x ) 0 0 0

-- f(x) = V~ x,- V~ 66

f(66) = f'(64)+ f'(q).2

V~ 66 = V~ 64+ f'(q).2

Anwendungen:

Mit dem Mittelwertsatz können beispielsweise Grenzwerte bestimmt werden:

Beispiel 1:

|----(3 V~ --------3 V~ ---)| |nli'-->m oo n2 + a2- n2 | -----------------------

Wir bringen den Term auf eine Form, auf die man den Mittelwertsatz anwenden kann:

V~ ---------- V~ --------- [ V~ --------- ] 3 V~ ------- V~ 3- 3 ( a2) 3 V~ -- 3 V~ --3 (a )2 3 V~ -- V~ 3- 3 (a)2 (an) = n2 + a2- n2 = n2 1 + n2 - n2 = n2 1+ n- - n2 = n2 1 + n- - 1 = [ V~ ------- ] 3 V~ ---(a)2---- 3 V~ ----(a)2--- 3 V~ -- 31 + (a)2- 1 .3 V~ a2- = --1+ V~ -n---1-= --1-+ V~ -n---1 . V~ -a2=------- V~ n---------- = 3-1 3 1- 3 a2 3(a)2 ( n V~ 2------- n2) n V~ - 31 + (a)2- V~ 31-+-02 = 3a2 ---- V~ (-n)-- V~ ----- 3 an - 302

(8.4)

Wir vergleichen mit dem Mittelwertsatz:

| V~ ------------------------------------| |3 (a)2 V~ 3---2- ' | --1-+ V~ --n---- V~ -1+-0 = f(b)--f(a)= f-(q)| | 3(a) - 302 g(b)- g(a) g'(q)| -------n--------------------------------

Dann folgt:

|------3 V~ ------------3 V~ --| f-(x)-=--1-+-x,g(x)-=--x--

|----------| b = a,a = 0| ----n-------

Wir leiten die beiden Funktionen ab:

' 1 f (x) = 3 3 V~ (1-+-x)2

g'(x) =- V~ 1- 3 3x2

Daraus ergibt sich dann:

V~ -------- 3 (a)2 V~ 3---2- -- ' -- 3 V~ -2 -- V~ ----2-- --1+ V~ -n--- V~ -1+-0-= 3 V~ a2f(q)-= 3 V~ a2 V~ ---q--- = 3 V~ a2 3 --q---- 3(a-)- 3 02 g'(q) 3(1 +q)2 (1 + q)2 n

Für $n '--> oo$ gilt nun $b '--> a = 0$ und somit $q '--> 0$ . Dann resultiert:

|_ V~ ------- _| ( V~ ------- V~ -) 3 1+ (a)2- V~ 31-+-02 [ V~ - V~ ---2---] |-| lim 3n2 + a2 - 3n2 = lim |_ ---- V~ (n-)- V~ ----- _| = lim 3a2 .3 --q--2- = -0- n'-->o o n'--> oo 3 an - 3 02 q'-->0 (1+ q)

• Beispiel 2:

|-----(--------)-| |lim n 1 - cos 1- | n'-->o o ---------n---

Durch Umformung folgt wieder:

( ) 1 1 (an) = n 1- cos 1 = 1---cosn = - cos0---cos-n- n 1n 0 - 1n

Nach dem ersten Mittelwertsatz gilt:

f-(b)--f(a) ' b- a = f(q)

Dann folgt daraus:

|----------------------------------------| | cos0 - cos 1 f(b) - f(a) | |--------1--n = ----------= f'(q) = -f'(q) | -----0---n--------b---a------------------

Hierbei gilt nun, wie man unschwer sieht:

|-----------------'-----------| -f(x) =-cos(x)-mit f-(x) =---sin(x)

|--------1-| b = 0,a = n-| ------------

Daraus folgt dann schließlich:

cos0---cos-1n - 0 - 1n = +sin(q)

Für $n '--> oo$ gilt nun $b '--> a = 1n$ und somit $q '--> 0$ :

( ) [ 1] --- lim n 1- cos-1 = lim - cos0--cosn- = lim sin(q) = 0 | n'--> oo n n'--> oo 0- 1n q'-->0 ---

Satz:

$f$ sei auf dem Intervall $I$ definiert und differenzierbar:

$' f (x) > 0$ , $x (- I$ $==>$ $f$ ist streng monoton wachsend auf $I$ $f(x2)--f(x1)= f'(q) > 0 x2- x1$
$' f (x) < 0$ , $x (- I$ $==>$ $f$ ist streng monoton fallend auf $I$
$f'(x) > 0$ auf $I$ $<==>$ $f$ ist streng monoton wachsend auf $I$
$f'(x) < 0$ auf $I$ $<==>$ $f$ ist monoton fallend auf $I$
$' f (x) = 0$ $A$ $x (- I$ $<==>$ $f(x) = const.$ $A$ $x (- I$

Beweis:

$”<-- “$ : $x (- I$
Ziel:

$' f (x) > 0$ mit $f$ monoton fallend
$x /= x1$ , $x$ , $x1 (- I$ : $f-(x)---f(x1) > 0 ==> lim f(x)--f(x1) = f'(x) x - x1 x1'-->x x- x1$ , $> 0$

Satz:

$f : I '--> R$ , $x0 (- I = [a,b]$ . $f'(x0) = 0$ . Es gelte $f''(x0) > 0$ $(< 0)$ . Dann besitzt $f$ in $x0$ ein lokales Minimum (Maximum).

$' f'(x0 +-h)--f'(x0) f'(x0-+-h f (x0) = lhim'-->0 h = lhi'-->m0 h > 0$

Daraus ergibt sich $f'(x0 +-h)> 0 h$ für $|h|$ klein:

$' f (x0 + h) > 0$ für $0 < h <$ klein

$' f (x0 + h) < 0$ für klein $< h < 0$

f'(x) = cf(x),c const. (- Cn

f(x) = ecx,2ecx

Satz:

Es sei $c (- C$ konstant. Für die differenzierbare Funktion $f : R '--> C$ gelte: $f '(x) = cf(x)$ $(x (- R)$ . Dann gilt: $f(x) = f (0)ecx$ $A$ $x$

Beweis:

Betrachte:

( ) F(x) = f (x)e-cx : F (x) = f'(x)e-cx+f(x)(-c)e-cx = e-cx f'(x)- cf(x) = 0 =0

==> F(x) = const.= F(0) = f(0).

Folgerung:

$x f(x) = e$ ist die gesuchte Lösung des folgenden Problems: $' f (x) = f(x)$ , mit $x (- I$ und $f (0) = 1$ .

2 ex = 1+ x + x- +... 2!

Beispiele:

Betrachte $f'(x) = if(x)$ , $f(0) = 1$ $(==> f (x) = eix = cosx + isinx)$ und setze $f(x) = u(x) +iv(x)$ .

f '(x) = u'(x)+ iv'(x) = i(u(x)u(x)+ iv(x)) = u'(x)+ iv'(x) = - v(x) + iu(x)

==> u'(x) = -v(x) und v'(x) = u(x),u(0) = 1,v(0) = 0 ==> u(x) = cosx,v(x) = sinx

Wir entkoppeln:

} u''(x) = -v'(x) ==> u''(x) + u(x) = 0 u(0) = 1 u'(0) = 0 u(x) = v(x) v''(x) +v(x) = 0 v(0) = 0 v'(0) = 1

( | |) oo sum k -----1------ ||---an---|| ak(x-x0) = f(x),| x- x0|< r = lim sup n V~ |an| = nli'-->mo o |a - n+ 1| 0 < r < oo k=0

sum n Tn(x) = -1f(k)(x0)(x-x0)k = f (x0)+f '(x0)(x -x0)+ 1f''(x0)(x-x0)2+... k=0k! 2!

T(j)(x ) = f(j)(x )(j = 0,1,...,n) n 0 0

Betrachten wir den TAYLORsatz für $x$ , $x0 (- [a,b]$ , $f (- Cn[a,b]$ . Es gibt ein $q = x0 + h(x- x0)$ , so daß gilt:

1- (n) n (T)f(x) = Tn(x) + n!f-(q)(x---x0) = Tn-1(x)+ Rn(x) Rn(x)

n [1 (n) ] (~T) = Tn- 1(x)+ (x - x0) n!f (x0)+ o(1) (x '--> x0)

f'(x ) = lim f(x0-+h)---f(x0) (¨Anderung der Funktionswerte) 0 h'-->0 h

' f'(x0 +-h)--f'(x0) f (x0) = lih'-->m0 h

Beispiel (Anwendung):

3 V~ -- 3 V~ -- 10,f(x) = x

x = 10,x0 = 0,n = 3

V~ - 310 ~~ 1011+ 1f'''(8+ h.2),0 < h < 1 72 3!--- ----- R3

1 Absch¨atzung: 0 < R3 < 29

Satz:

$f (- Cn[a,b]$ , $x0 (- (a,b)$ . Sei $f(j)(x0) = 0$ , $j = 1,2,...,n - 1,f (n)(x0) /= 0$ . Dann gilt:

Ist $n$ ungerade, dann liegt bei $x0$ kein lokaler Extremwert.

Ist $n$ gerade ${ und f(n)(x0) > 0, so liegt bei x0 ein lokales Minimum. (n) und f (x0) < 0, so liegt bei x0 ein lokales Maximum.$

$[ ] f(x)- f(x0) = (x -x0)n 1-f(n)(x0)+ o(1) (x0)x '--> x0 -n!---- ------- hat bei x0 das Vorzeichen von f(n)$

$n$ ungerade: Beide Seiten wechseln bei Durchgang durch $x0$ das Vorzeichen: kein Extremum
$n$ gerade: $f(x) < f(x0)$ oder $f(x) > f(x0)$ in der Umgebung von $x0$ je nach Vorzeichen von $f(n)(x0)$ .

8.6.1 Der Wendepunkt einer Funktion

$f : [a,b] '--> R$ sei zweimal differenzierbar. In $x0 (- [a,b]$ liegt ein Wendepunkt für $f$ , falls bei $x0$ $f''(x)$ das Vorzeichen wechselt. Ein Wendepunkt mit waagerechter Tangente heißt Sattelpunkt.

Satz:

$f (- Cn[a,b]$ , $n > 3$ sei ungerade. Es gelten: $f''(x0) = f'''(x0) = ...= f(n-1)(x0),f(n)(x0) /= 0$ . Dann besitzt $f$ in $x0$ einen Wendepunkt.

Beweis:

$f''(x)$ : Wende $(T~)$ auf $f''(x)$ an; ersetze $n$ durch $n -z$ .

[ ] '' n- sum 31- ''(k) k n-2 ---1--- (n) f (x) = k!(f ) (x0)(x- x0) +(x - x0) (n- 2)!f (x0)+ o(1) k=0-------- ---------- --------- --------- =0 hat festen Vorzeichenwechsel

Es sei $f$ in einer Umgebung von $x0$ beliebig of differenzierbar. Dann kann folgender Grenzwert gebildet werden:

$sum n 1 nli'-->mo o Tn(x) = --f(k)(x0)(x - x0)k k=0k!$

$oo sum -1f(j)(x )(x- x )k = T (x)(= T (f(x ))(x)) k=0k! 0 0 0$ heißt Taylorreihe von $f$ in $x 0$ .

Gegeben ist die Potenzreihe $sum oo ( ) a xk k=0 k$ . Diskutiert wird die hierdurch gegebene Funktion.
Gegeben ist $f$ . Gesucht ist die Potenzreihe, die diese Funktion darstellt.

Satz:

Gegeben sei die Potenzreihe $sum oo k ak(x- x0) k=0$ mit dem Konvergenzradius $r$ .

Die hierdurch definierte Funktion $sum oo f : f(x) = ak(x -x0)k k=0$ , $|x- x0|< r$ ist für jedes $x :| x - x0| < r$ beliebig oft differenzierbar.
Die Ableitungen erhält man durch gliedweises Differenzieren:
$oo ' sum k- 1 f (x) = kak(x- x0) k=1$ und diese Reihe hat wieder den Konvergenzradius $r$ .
$oo f(j)(x) = sum k(k- 1) .....(k- j +1)a (x- x )k-j k=j k 0$ ( $j = 0$ , 1, 2, $...$ )
Es ist $f(j)(x ) = j!a 0 j$ . Das heißt: $oo f(x) = sum 1f (k)(x )(x- x )k k=0 k! 0 0$ . (Die gegebene Potenzreihe ist die TAYLORreihe der durch sie dargestellte Funktion.)

Begründungen (Übung):

|----------1-------| 1 |r =-------k- V~ 1-----|<== r = ------k V~ ----- ----lim-sup----k|ak|- lim sup |ak|

Spezialfall: Wir nehmen an, daß $1 V~ ---- - = lim k |ak| r k'-->o o$ :

lim k-1 V~ k-|ak|= 1 : k V~ k-'--> 1 f¨ur k '--> oo k'-->o o r

Man folgere, daß $k- V~ 1-- k '--> 1$ für $k '--> oo$ . Außerdem ist zu verwenden:

( 1)kk-1 V~ ---- 1 |ak |k = k-1|ak|= - r

Des weiteren nütze man folgende Abschätzung:

-- ------- k V~ k---1 < V~ kk < k- V~ 12(k- 1)

' sum oo k-1 f (x) = kak(x- x0) k=1

( )' ( sum oo )' sum n lim Sn(x) = lim ak(x- x0)k = lim kak(x- x0)k- 1 n'--> oo n'--> oo k=0 n'-->o o k=1

( )' ' nli'-->m oo Sn(x) = nl'-->imo o Sn(x)

Es handelt sich also um die Vertauschung von zwei Grenzübergängen. Die notwendige Begründung wird später bei der Integralrechnung geliefert.

Beispiel:

oo oo sum 2k sum k 2k f(x) = a2kx = (- 1)x f¨ur |x|< 1, r = 1 k=0 k=0

Aus dieser Reihendarstellung der Funktion $f(x)$ lassen sich die Koeffizienten ablesen:

k -1---(2k) a2k = (-1) = (2k)!f (0)

a = 0 = ---1----f(2k-1)(0) 2k+1 (2k- 1)!

Der Grenzwert kann mittels der Geometrischen Reihe berechnet werden:

oo |------------| sum (-1)kx2k =---1--==> f (x) = --1---| k=0 1 + x2 -------1+-x2--

Beispiel:

sum oo (a ) f(x) = xk f¨ur a /= 0, 1, 2, ... und |x |< 1 k=0 k

Es gilt $r = 1$ und außerdem dem Zusammenhang $' (1 + x)f (x) := af(x)$ mit $f(0) = 1$ . Zur Erinnerung:

' x f(x) = f(x) f¨ur x (- R, f(0) = 1 ==> f(x) = e

' u (x) = v(x)

' v(x) = - u(x)

u(0) = 0,v(0) = 1

u(x) = sin x

v(x) = cosx

Wiederholung:

sum n Tn(x) = -1f(k)(x0)(x-x0)k,Rn(x) =-1f(n)(q)(x-x0)n,q = x0+h(x -x0),0 < h < 1 k=0k! n!

Der Taylorsatz lautet:

f(x) = Tn(x)+ Rn+1(x),f (- Cn+1(I),x,x0 (- I

oo sum 1- (k) 2 T (x)(= T (f(x0)(x)) = k!f (x0)(x - x0) = lnim'--> oo Tn(x) k=0

Satz:

oo sum k f(x) := ak(x - x0),D = {x||x - x0|< r} k=0

Es ist f (- Co o (D) und es gilt: f(x) = T (f(x ))(x)(x (- D) 0

1- (k) ==> (ak) = k!f (x0)

8.6.2 Binomische Reihe

a (- R, a (- /N U {0}

oo sum ( ) f(x) := a xk,r = 1;| x| < 1 k=0 k

oo ( ) oo ( ) f'(x) = sum k a xk-1 = sum (k+ 1) a xk,| x| < 1 k=1 k k=0 k + 1

f(x) = F(x)+ C

f(0) = 1

Wir multiplizieren mit $(1+ x)$ :

( ) ( ) ( ) ( ) ' sum oo a k sum oo a k+1 oo sum a k oo sum a k (1+ x)f(x) = (k+ 1) k + 1 x + (k+ 1) k + 1 x = (k + 1) k+ 1 x + k k x = k= oo 0 ( ) k= oo 0 ( ) oo [ k(=0 ) ( )] k=1 = sum (k+ 1) a xk + sum k a xk = sum (k +1) a + k a xk = af(x) k=0 k + 1 k=0 k k=0 --------k+ 1------k-- a(a) k

(8.5)

Somit gilt:

(1+ x)f'(x) = af(x) f¨ur|x|< 1

Wir multiplizieren diese Gleichung mit $(1+ x)-a-1$ durch, woraus dann folgt:

(1+ x)-af'(x)- a(1+ x)-a-1f(x) = 0

Der Ausdruck auf der linken Seite stellt gerade die Ableitung folgender Funktion dar:

( )' (1 +x)-af (x)

Somit folgt:

( -a )' (1+ x) f(x) = 0 f¨ur|x|< 1

Damit folgt dann durch Aufleiten:

-a (1+ x) f(x) = const.

Mit $f(0) = 1$ ergibt sich nun durch Einsetzen von 0 für die Konstante:

(1+ 0)-af(0) = 1

Somit gilt also:

(1+ x)-af(x) = 1

Daraus ergibt sich dann endgültig die binomische Reihe:

|----------------------------------| | sum oo (a ) | |f(x) = (1+ x)a = xk f¨ur|x|< 1| ----------------k=0--k--------------

Anwendungen:

Mittels der binomischen Reihe kann man also Funktionen der Form $(1+ x)a$ entwickeln.

Für $a = - 1$ folgt beispielsweise: $( ) - 1 k k = (-1)$
Damit folgt nun:
$oo (1+ x)-1 = -1---= sum (- x)k f¨ur|x|< 1 1+ x k=0$
Wir führen außerdem die Variablentransformation $x '--> - x$ durch:
$--1-- sum oo k 1 -x = x ,|x|< 1 k=0$

$V~ ----- oo sum (12) k 1+ x = k x ,| x|< 1 k=0$
Für $a = 12$ können wir die Wurzelfunktion entwickeln: $( ) ( ) (12) -12-12--1--.....-12--k-+-1- 1.(-1).(--3)-.....(-2k-+-3) k-11-.1.3.5-.....(2k--3) k = k! = 2kk! = (-1) 2kk!$

$V~ ----- sum oo (1) 1 1 3 1+ x = 2k xk = 1 + 2x- 8 x2 + 86x3 ± ... k=0$
Hiermit kann man nun näherungsweise den Wert von $V~ 2$ bestimmen:
$V~ oo sum (1) 2 = 2 .2k = 1+ 1 .2- 122 + 3-23± ... k=0 k 2 8 86$

Problem:

Gegeben sei $f$ auf $I$ mit $x0 (- I$ . Für welche $x (- I$ kann $f(x)$ in eine Potenzreihe um $x0$ entwickelt werden? Gesucht sind $ak$ und $x (- I$ , so daß $oo sum f(x) = ak(x - x0)k k=0$ gilt.

Satz:

$f$ muß unendlich oft differenzierbar sein.
$f(x) = T (f,x0)(x) = limn'--> oo Tn(f(x0))(x)$ $f(x) = Tn(x)+ Rn+1(x) ==> Rn+1(x) muß gegen Null streben fu¨r n '--> oo$

Satz:

Es sei $f$ auf $(a,b)$ unendlich oft differenzierbar $x0 (- (a,b)$ . Dann konvergiert $T(f,x0)(x)$ für diejenige $x (- (a,b)$ gegen $f(x)$ , für die $Rn+1(x) = ---1---f(n+1)(x0 + h(x- x0)) '--> 0 (n+ 1)!$ für $n '--> oo$ .

Beispiel:

f(x) = ln(1 + x)(x > -1),x0 = 0

$1 1 f(n)(0)| f'(x) = 1-+-x,f''(x) = - (1-+-x)2$
Wir vermuten den folgenden Zusammenhang:
$f(n)(x) = (- 1)n-1(n - 1)!--1--- f¨ur n = 1, 2, ... (1+ x)n$
Als Übung kann man den Beweis durch vollständige Induktion erbringen.
$sum oo -1 k-1 k sum oo k-11-k T (f,0)(x) = k!(- 1) (k- 1)!x = (-1) kx f¨ur |x|< 1 k=1 k=1$
Für welche konvergiert die Reihe von ?
Das sind die , für die für . $1 1 Rn+1(x) =-------(-1)nn!-------n+1xn+1 (n + 1)! (1+ hx)$

$|----------------------------------| R (x) = (-1)n-1-------1----xn+1 | --n+1----------n-+-1(1+-xh)n+1------$
Das Ergebnis ist:
$Rn+1(x) '--> 0 f¨ur - 1 < x < 1$
Wir zeigen hier zunächst:
$R (x) '--> 0(n '--> oo ) f¨ur - 1< x < 1 n+1 2$
- Für $0 < x < 1$ schätzen wir folgendermaßen ab: $|--------------------------------| | -1--- | -|Rn+1(x)|<--n+-1-.1 '-->-0 f¨ur n-'-->- oo |$
- Für $- 1 < x < 0$ schätzen wir mittels der Dreiecksungleichung ab: $|1 + hx|> 1- h|x|> 1- |x|$
  Somit folgt dann:
  $|--------------------------------------------------------------------------| | n+1 ( )n+1 | |Rn+1(x)|< ---|x|--n+1 -1---= --|x|- --1--'--> 0 f¨ur n '--> oo und - 1 < x < 0 -----------(1--|x| )----n+-1----1---|x|-----n+-1---------------------2---------$
  $g(t) = -t- 1-t$ ist monoton wachsend.
  $(1 ) 0 < x < 1, g 2 = 1$
Wir notieren uns nun die Reihe:
$|---------- sum oo -------k-------2----3----4---------------| |ln(1 + x) = (- 1)k-1x--= x- x- + x- - x-+ ...- 1 < x < 1 | k=1 k 2 3 4 | ---------------------------------------------------------$
$f(x) = ln(x)$ soll um $x0 > 0$ entwickelt werden mit $oo sum ak(x - x0)k k=0$ . Damit folgt:
$( ( )) |--------(----------)-| f(x) = ln(x + x - x ) = ln x 1+ x---x0 = |lnx + ln 1 + x--x0- | 0 0 0 x0 ----0-----------x0----|$