9.6 Integration rationaler Funktionen/Partialbruchzerlegung

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9.6 Integration rationaler Funktionen/Partialbruchzerlegung

Polynom- r(x) = Polynom

Beispiele:

--1--- x2- 4

2 -2x-+-32 x(x- 1)

x5 + 2 x2--1-

Beispiele nichtrationaler Funktionen sind:

lnx, V~ 1-,|x6--2| x x2- 1

Bemerkungen zu Polynomen:

f(x) = c0 + c1x + c2x2 + ...+ cnxn(cn /= 0) : n = grad(f)

Definition:

Eine Funktion $y = h(x)$ hat in $x0$ eine Nullstelle der Ordnung $k$ $( (- N)$ , falls $h(x)$ in der Umgebung von $x0$ die Darstellung $h(x) = (x- x0)kg(x)$ besitzt mit einer bei $x0$ definierten Funktion $g$ , für die $g(x0) /= 0$ gilt.

Beispiel:

x3 x5 ( x2 x4 ) x0 = 0 : sin0 = 0 : sin x = x - 3! + 5!± ...= x 1- 3! + 5! ±... -------- -------- g(x),g(0)=1/=0

Damit ist 0 Nullstelle 1.Ordnung.

Satz:

Ist $f (- Cn$ und gelten $f(x0) = f '(x0) = ...= f(k- 1)(x0) = 0,f(k)(x0) /= 0$ $==>$ $x0$ ist Nullstelle der Ordnung $k$ .

Voraussetzung:

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