9.7 Der Fundamentalsatz der Algebra

Satz:

Jedes Polynom vom Grad $n > 1$ besitzt eine komplexe Nullstelle.

( ) (( )2 ) f(x) = x3 + x2 + x = x(x2 + x + 1) = x x2 + x + 1+ 3 = x x+ 1 + 3 4 4 2 4 ( 1 V~ 3 )( 1 V~ 3 ) = x x+ -- i--- x+ -+ i--- 2 2 2 2

(9.6)

Es sei $x0$ eine Nullstelle des Polynoms $sum n f(x) = ckxk k=0$ . Dann gilt:

f(x) = (x- a)g(x) mit einem Polynom g.

Wir erinnern uns:

xk- ak = (x - a)(xk-1 + axk-2 +a2xk-3 + ...+ ak-1) --------------- --------------- pk-1(x)

sum n k k sum n sum n f(x) = f(x)- f(a)= ck(x -a ) = ck(x- a)pk-1(x) = (x- a) ckpk-1(x) 0 k=1 k=1 k=1-- ---- Polynom vom Grad n-1

Folgerung:

Ein Polynom $pn$ vom Grade $n$ hat genau $n$ Nullstellen $a1$ , $a2$ , $...$ , $an$ $( (- C)$ .

Beweis:

p (x) = c + c x+ ...+ c xn = c (x -a )(x -a ) ...(x- a ) = (x- 1)n n 0 1 n n 1 2 n

Unter den Nullstellen $a1$ , $...$ , $an$ sind $s$ $(> n)$ verschiedene $a1$ , $a2$ , $...$ , $as$ .

p (x) = c (x- a )k1(x -a )k2 ...(x - a)ks(k + k + ...+ k = n) n 1 1 2 s -1---2 ------s kj (- N

Beispiel:

5 4 3 2 3 2 p5(x) = x -x - 2x + 2x + x - 1 = (x- 1) (x+ 1)

a1 = 1, a2 = 1, a3 = 1, a4 = - 1, a5 = -1

a = a = a = a ,k = 3 1 1 2 3 1

a2 = a4 = a5,k2 = 2

$----f(x)---- r(x) = (x -a)kg(x)$ sei rationale Funktion grad $(f) < k + grad(g)$ . Es sei $g(a) /= 0$ , $f (a) /= 0$ . Dann gilt:

Es gibt eindeutig eine Zahl $c$ und ein Polynom $p(x)$ mit grad $(p) < k+ grad(g) -1$ und
$---c--- ----p(x)----- r(x) = (x -a)k + (x- a)k-1g(x)$ .

Beweis:

x f(x) - cg(x) (x - a)p(x) p(x) f(a) r(x)- ------k = -----k-----= ------k----= ------k-1---- mit c =----. (x - a) (x - a)g(x) (x- a) g(x) (x - a) g(x) g(a)

Beispiel:

Für $k = 1$ gilt:

---f(x)--- --c-- p(x)- (x- a)g(x) = x - a + g(x),grad(p) < grad(g)

grad(f) < n,aj /= ak(j /= k)

----------f(x)-----------= --c1--+ ------f1(x)------= (x- a1)(x - a2)...(x- an) x - a1 (x- a2)...(x- an) c1 c2 f2(x) n sum ck = x---a1 + x---a2 + (x--a3)...(x--an) = x--ak- k=1

(9.7)

pn(x) = c0+c1x+...+cnxn = c1(x-a1)k1(x- a2)k2 ...(x-as)ks,(aj /= ak,j /= k,b1+b2+...+ks = n)

A3 $f$ , $g$ , $k$ , $r$ , $a$ seien wie oben. Dann gibt es eindeutig Zahlen $g1$ , $...$ , $gk$ und ein Polynom $q$ mit grad $(p) < grad(g)$ , so daß gilt:

---f(x)---- sum k---gl-- q(x)- ---gk-- --gk-1--- --g1- q(x)- r(x) = (x- a)kg(x) = (x- a)l+ g(x) = (x- a)k+ (x- a)k-1+...+x - a+ g(x) l=1

Satz:

$f$ , $g$ seien Polynome mit grad $(f) < grad(g)$ und $s prod kj g(x) = (x- aj) j=1$ . Dann hat man:

$sum s ( ) r(x) = f-(x) = -gj1-+ --gj2---+ --gj3---+ ...+ --gjkj--- g(x) j=1 x- aj (x - aj)2 (x- aj)3 (x- aj)kj$

Beispiel:

4 2 ~r(x) = x-+-2x-+-1 x2 + x- 1

1.Schritt:
Durch Polynomdivision ein Polynom abspalten.
$x4-+-2x2 +-1 = x2 + x+ 4 - 5-x--1-- x2 + x- 1 x2 + x -1$
2.Schritt:
Wende Satz auf $r(x)$ an.
$r(x) = --x---1-- x2 + x - 1$

$( ) ( ) 1 V~ 5 1 V~ 5 x2 + x- 1 = x + 2- 2-- x+ 2 + -2-$
Damit folgt für $s = 2$ :
$V~ 1 -5- a1 = - 2 + 2 ,k1 = 1$

$V~ 1 -5- a2 = - 2 - 2 ,k2 = 1$
3.Schritt:
Partialbruchzerlegung berechnen zu $g1$ , $g2$ :
$r(x) = ----g1- V~ -+ ----g2- V~ -: r(x)(x2 + x - 1) Koeffizientenvergleich x+ 12- -52- x + 12 +-25$

$( ) ( ) g1 = 1 1 - 3 V~ -- ,g2 = 1 1 + V~ 3 2 5 2 5$

Beispiel:

integral x --dt---- ----1--- (t2 + 4)2,r(x) = (x2 + 4)2

a1 = +2i,a2 = - 2i,k1 = 2,k2 = 2

r(x) = --21---2 = ------12------2- (x + 4) (x - 2i) (x+ 2i)

a b g d 1 r(x) = ----- + ------2-+ -----+ -------2 = --2---2- x +2i (x + 2i) x- 2i (x - 2i) (x + 4)

a = g,b = d

r(x)(x + 2i) und x '--> oo : 0 = a + g ==> Re(a) = Reg = 0

r(x) (x + 2i)(x -2i) = 1 = a(x+ 2i)(x- 2i)2+b (x- 2i)2+g (x -2i)(x+ 2i)2+d (x+ 2i)2

x = -2i,1 = b .(- 16) ==> b = d = --1 ,x = 0 : a = 1-i,g = --1 i 16 32 32

Damit ergibt sich für $r(x)$ :

-1 -1 -1 -1 ( ) ( ) r(x) = -32i- - -32i-- ---16---- ---16---= 1-i --1-- - --1-- - -1 ---1----+ ---1---- = x +2(i x-)2i (x(+ 2i)2 (x - 2i)2 3)2 x + 2i x- 2i( 16 (x+ 2i)2 (x)- 2i)2 -1 --4i-- -1 ---1---- ---1---- 1 --1--- 1- ---1---- ---1---- = 32i x2 + 4 - 16 (x+ 2i)2 + (x- 2i)2 = 8 . x2 + 4- 16 (x + 2i)2 + (x - 2i)2

(9.8)

Damit ergibt sich nun für das Integral:

x x x integral --dt---- integral 1 --1--- integral -1 (---1---- ---1----) I = (4 + t2)2 = 8 .x2 + 4 - 16 (x+ 2i)2 + (x -2i)2 = integral x ( ) = 1-.----1---+ -1 --1--+ --1-- = 1-arctan (x)+ 1- .x--2i+-x+-2i-= 32 (x-)2 + 1 16 x+ 2i x - 2i 16 2 16 x2 +4 1 2(x) 1 2x 1 (x ) 1 x = --arctan -- + -- .-2----= --arctan -- + - -2---- 16 2 16 x + 4 16 2 8 x + 4

(9.9)

Beispiel:

Gegeben sei folgende vom Parameter $a$ abhängige Funktion:

|--------------------| | (x- 2)(x- a) | |fa(x) =----2----2-- | ----------(x---1)----

Es sollen alle $a$ bestimmt werden, für welche die Stammfunktion von $fa(x)$ eine rationale Funktion ist. Außerdem soll dann die Stammfunktion zu diesen $a$ berechnet werden.
Dazu führen wir folgende Partialbruchzerlegung durch: