9.8 Integration, Differentiation von Funktionenfolgen

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9.8 Integration, Differentiation von Funktionenfolgen

Es gelte $fn '--> f$ für $n '--> oo$ auf $[a,b]$ . Wir beschäftigen uns mit der folgenden Frage:

integral x integral x fn(t)dt '--> f(t)dt, f'n '--> f'f¨ur n '--> oo ? x0 x0

Beispiel:

I = [0,1]

2 1 2n x fu¨r 0 < x < 2n- { 1 1 f(x) = 2n - 2n2x fu¨r 2n < xn 1 0 fu¨r n < x < 1

fn(x) '--> 0(n '--> oo ) f¨ur jedes x (- [a,b].

$fn '--> 0$ punktweise, aber nicht gleichmäßig!

integral 1 1 1 n'-->o o 1 fn(x)dx = --n = - ------> - } integral 1 integral 1 0 2n 2 2 f (x)dx /--> f(x)dx f¨ur n '--> oo , obwohl f '--> f auf [0,1]. integral 1 n n f(x)dx = 0 0 0 0

9.8.1 Die Vertauschung von Integration und Grenzwertbildung

Satz:

$|fn|< C[a,b]$ , $f$ sind auf $[a,b]$ definiert. $fn '--> f$ $(n '--> oo )$ gleichmäßig auf $[a,b]$ . Dann gilt:

$integral b integral b( ) integral b lim fn(t)dt = lim fn (t)dt = f(t)dt n'-->o o n'-->o o a a a$

Beweis:

| | | | || integral b integral b || || integral b || integral b || fn(t)dt- f(t)dt||= || (fn(t)- f (t))dt|| < |fn(t)- f(t)|dt < ||fn- f||(b- a) '--> 0(n '--> oo ) |a a | |a | a

9.8.2 Die Vertauschung von Differentiation und Grenzwertbildung

Satz:

$(fn) (- C1[a,b]$ , $q (- [a,b]$ sei beliebig, aber fest.

$nli'-->m oo fn(q)$ existiert.
$f''--> g n$ $(n '--> oo )$ gleichmäßig auf $[a,b]$

Dann gelten:

$lim fn(x) = f(x) f¨ur jedes x (- [a,b] und f (- C1[a,b] und f'(x) = g(x) f¨ur a < x < b n'--> oo$ .
$' ( ) f (x) = D lni'-->m oo fn (x)$
$g(x) = lim (Df )(x) n'--> oo n$

Beweis:

integral x f (x) = f (q)+ f'(t)dt f¨ur a < x < b n n n q

Nach Satz 1, Voraussetzung 2 gilt:

integral x lim fn(x) = lim fn(q)+ g(t)dt = f(x) f¨ur a < x < b n'--> oo n'-->o o q

integral x f(x) = f(q)+ g(t)dt q

f '(x) = g(x)

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