2.2 Mengenfamilien

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2.2 Mengenfamilien

Definition:

$M1$ , $M2$ , $M3$ , $...$ sei Mengenfamilie mit ${Mj,j = 1$ , 2, $...$ . Dann wird definiert:

$oo /~\ Mj j=1$ : Das sind alle $x$ , die in allen $Mj$ liegen
$oo U Mj j=1$ : Das sind alle $x$ , die in mindestens einer der Mengen liegen

Beispiel:

[ ] 1 1 oo U oo /~\ Mj = - j,j ,j = 1, 2, ... Mj = M1 Mj = {0} j=1 j=1

Definition:

$M1/ _\ M2 := (M1 \M2) U (M2 \M1) =¨U(M1 U M2) \(M1 /~\ M2)$ (symmetrische Differenz)

Satz:

$M1$ , $M2$ , $M3$ seien Mengen:

$a.) M1 /~\ (M2 U M3) = (M1 /~\ M2) U (M1 /~\ M2) } b.) M1 U (M2 /~\ M3) = (M1 U M2) /~\ (M1 U M2)$ Anregung: Gilt $A /\ (B \/ C) = (A /\ B) \/ (A /\ C)$ ?

Zu a.) M = N ergibt zu ¨uberpr¨ufen M < N und N < M

2.2.1 Die Regel von de MORGAN

Satz:

${Mj, j = 1$ , 2, $...}$ sei eine Mengenfamilie und $S$ sei eine Menge. Dann gelten:

$( ) oo /~\ oo U S \ Mj = (S \Mj) j=1 j=1$
$( ) oo U oo /~\ S \ Mj = (S \Mj) j=1 j=1$

\text{[math]}

Falls $Mj < S$ $A$ $j$ , dann besagt das:

( oo ) oo ( oo ) oo C /~\ M = U C M ,C U M = /~\ C M S j=1 j j=1 S j S j=1 j j=1 S j

¬(A /\ B) = (¬ A) \/ (¬B)

¬(A \/ B) = (¬ A) /\ (¬B)

a.) ist plausibel: $S \(M1 /~\ M2) = (S \M1) U (S \M2)$

Definition:

$M1$ , $M2$ seien Mengen. Das kartesische Produkt $M1 ×M2$ von $M1$ , $M2$ ist die Menge der geordneten Paare $(x,y)$ mit $x (- M1$ , $y (- M2$ : $M1 × M2 = {(x,y)| x (- M1,y (- M2}$ .

Beispiele:

M1 = R,M2 = R M1 ×M2 = R2

M1 × M2 × M3 = {(x,y,z)|x (- M1, y (- M2,z = M3}

M1 × M2 × ...×Mn

3 R × R× R = R

Es sei $(x1,y1)$ , $(x2,y2)$ $(-$ $M1 ×M2$ . $(x1,y1) = (x2,y2)$ bedeutet $x1 = x2$ und $y1 = y2$ .

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