3.1 Kurven im <img src="msbm10-52.gif" alt="R" class="10x-x-52" />n

3.1 Kurven im $n R$

Für $n = 2$ handelt es sich um ebene Kurven, für $n = 3$ sind es sogenannte Raumkurven.

Definition:

$r = f : I = [a,b] < R '--> Rn : r = r(t),t (- [a,b] :$

Eine stetige Abbildung $r$ : $n I '--> R$ , $( ) q1(t) q2(t) r(t) = ... q (t) n$ , heißt Kurve.

$t$ heißt Parameter, $r$ heißt Parameterdarstellung von $r(I) = {r(t)| t (- I}= K.$ $K$ heißt Trajektorie (Spur) von $r$ .

Beispiel:

(V ~ ----) r(t) = 1- t2 f¨ur - 1 < t < +1 t

Es handelt sich um einen Halbkreis auf der rechten Halbebene.

Beispiel:

a,b > 0 = const.

(a cos t) p- p- r(t) = bsint f¨ur - 2 < t < 2

Dies ist eine Ellipse auf der rechten Halbebene.

Beispiel:

( ) r(t) = t f¨ur a < t < b f(t)

Dies ist eine andere Darstellung für $y = f(x)$ .

Übung:

( ) g(t) r(t) = t f¨ur c < t < d

Die Umkehrfunktion $x = g(y)$ wird damit dargestellt.

Beispiel:

( ) r(t) = r(t)cosf(t) r(t) > 0 und stetig, f ist stetig r(t)sin f(t)

t (cost) r(t) = 2p sint f¨ur 2p < t < 4p

Es handelt sich hier um eine sogenannte ARCHIMEDESsche Spirale.

( ) cost r(t) = sint f¨ur 0 < t < 2p t

Die Kurve stellt eine Schraubenlinie mit gleichbleibender Ganghöhe dar.

Im $R2$ wird durch $z = z(t),a < t < b$ eine Kurve beschrieben:

$z(t) = x(t) +iy(t)$ „identisch “ $( ) r(t) = cost sint$

Beispiel:

( ) z(t) = eit,0 < t < 2p : r(t) = cost ,0 < t < 2p sint

Durch eine Parameterdarstellung wird $K$ eine Orientierung durch ein Wachsen der Parameterwerte gegeben. $r(a)$ ist Anfangspunkt, $r(b)$ der Endpunkt der Kurve. Ist die Kurve $r : I '--> Rn$ injektiv (d.h. aus $t1 /= t2$ folgt $F (t1) /= F (t2)$ ), so heißt sie Jordankurve. Sie besitzt dann keine Doppelpunkte. Der Punkt $P$ habe den Ortsvektor $r(t1)$ . $P$ ist Doppelpunkt, wenn $r(t1) = r(t2)$ für $t1 /= t2$ .