3 Funktionen mehrerer Variablen

Kapitel 3
Funktionen mehrerer Variablen

3.1 Kurven im $Rn$
  3.1.1 Parametertransformation
3.2 Differentiation von Kurven $r : I < R '--> Rm$
  3.2.1 Bogenlänge (Länge $L$ einer glatten Kurve $C$ )
  3.2.2 Die natürliche Darstellung einer Kurve
3.3 Differenzieren von Funktionen mit mehreren Veränderlichen
  3.3.1 Richtungsableitung/Partielle Ableitung
  3.3.2 Vektoranalysis
  3.3.3 Ebene Polarkoordinaten
  3.3.4 Räumliche Polarkoordinaten (Kugelkoordinaten)
3.4 Nabla-Kalkül
  3.4.1 Der Gradient
  3.4.2 Die Divergenz
  3.4.3 Die Rotation
  3.4.4 LAPLACE-Operator
3.5 Differenzieren von Funktionen $f : S < Rn '--> Rn$
  3.5.1 Differenzierbarkeitskriterium
  3.5.2 Kettenregel
  3.5.3 Parameterdarstellung einer Fläche $F$ in $R3$
  3.5.4 Anwendung der Kettenregel (Differentiation von Parameterintegralen)
3.6 TAYLORformel
3.7 Relative (Lokale Extremwerte)
  3.7.1 Extremwerte von Funktionen, die auf abgeschlossenen und beschränkten Bereichen definiert sind
3.8 Inverse und implizite Funktionen
  3.8.1 Inverse Funktionen
  3.8.2 Implizite Funktionen (Mehr Unbekannte als Gleichungen)
3.9 Extremwertaufgaben mit Nebenbedingungen (NB)

Motivation:

Es sei $f$ : $D (- Rn '--> Rm$ und $A$ eine $(m, n)$ -Matrix.

$f(x) = Ax$ .
Komponentenfunktion, Koordinatenfunktion $( ) ( ) y1 f1(x1,...,xn) y2 f2(x1,...,xn) ... = y = f(x) = ... fj : D '--> R yn fn(x1,...,xn)$
$m$ skalare Gleichungen $yj = fj(x)$ , wobei $j = 1$ , 2, $...$ , $m$

$y=f(x)$ ist stetig in $x0 (- D$ , falls aus $k kli'-->mo o x = x0$ ( $k x$ ist eine Folge $< D$ ) folgt: $lim f (xk) = f(x0) k'-->o o$ . $(ak)k$ sei eine Folge von Vektoren:

( ) ( ) ak1 a1 k ak2 a2 n a = ... , a = ... (- R ak a n n

Definition:

$limk'--> oo ak = a$ heißt: $lim ||ak - a||= 0 <==> ak '--> aj k'--> oo j$ für $k '--> oo$ , $j = 1$ , $2$ , $...$ , $n$

Beweis:

k sum n ( k )2 ||a - a||= a j- aj j=1

Beispiel:

( 1 sink) (0 ) ak = kk3e-k ------> 0 V~ kk- k'--> oo 1

Sätzchen:

$f : D (- Rn '--> Rm$ ist stetig in $x0 (- D$ $<==>$ Jede Koordinatenfunktion $fj$ ist in $x0$ stetig.

Satz:

$n m f : D (- R '--> R$ ist in $x0 (- D$ stetig, falls es zu jedem $e > 0$ ein $d > 0$ derart gibt, daß aus $x (- D$ mit $||x- x0||< d$ folgt $||f(x) - f(x0)|| < e$

Übung:

Was heißt, daß $f$ in $x0$ unstetig ist?

$A$ sei $(m,n)$ -Matrix, $f(x) = Ax$ , $f$ ist stetig auf $Rn$ $sum n fj(x) = ajlql l=1$
Es gelte $xk '--> x$ für $k '--> oo$ : Gilt dann $fj(xk) '--> fj(x)$ für $j = 1$ , 2, $...$ , $n$ ?
$sum n fj(xk) = ajlqkl = aj1qk1+aj2qk2+...+ajnqkn '--> aj1q1+aj2q2+...+ajnqn = fj(x) l=1$
$f$ : $2 '--> R '--> R$ $--xy2-- { x2 + y2 f¨ur (x,y) /= (0,0) f (x,y) = 0 f¨ur (x,y) = (0,0)$
$f$ ist in $(0,0)$ unstetig. Falls stetig: $lim f(xk,yk) = 0 (xk,yk)'-->(0,0)$ für jedes Folge $(xk,yk) '--> (0,0)$

Übung:

Falls $(xk,yk) (-$ Gerade durch $(0,0)$ , dann gilt $f(xk,yk) '--> 0$ für $k '--> oo$
$(1 1 ) (xk,yk) = k-, V~ k$ : $( 1 ) 1 f k, V~ k- '--> 2$

Beispiel:

2 3 f : R '--> R

( x2 ) V~ -2---2- --xx+y-y-- f(x,y) = V~ x2-+-y2 f¨ur (x,y) /= (0,0) y2 V~ -2---2- x + y

Übung:

$f$ ist stetig für alle $(x,y) /= (0,0)$ . Existiert $(x,yl)im'-->(0,0)f(x,y)$ ? Wenn ja, wird dieser Wert als Wert für $f(0,0)$ gewählt. Wir untersuchen die Funktion komponentenweise: