2 Grundbegriffe der Linearen Algebra

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Kapitel 2
Grundbegriffe der Linearen Algebra

Wir werden folgende mathematische Probleme kennenlernen:

Vektorraum
Matrizen
Dimension
Basis
Lineare Gleichungssysteme
Eigenwertprobleme
Diagonalisieren von Matrizen

2.1 Der Vektorraum
2.2 Der Untervektorraum
  2.2.1 Lineare Abhängigkeit/Lineare Unabhängigkeit
  2.2.2 Basis und Dimension
  2.2.3 Umrechnung in andere Koordinatensysteme
  2.2.4 Das Skalarprodukt
  2.2.5 SCHMIDTsches Orthonormalisierungsverfahren
2.3 Lineare Abbildungen/Matrizen
  2.3.1 Rechnen mit Matrizen
  2.3.2 Multiplikation von Matrizen
  2.3.3 Lineare Gleichungssysteme: GAUßscher Algorithmus
2.4 Reguläre Matrizen. Die inverse Matrix zu einer regulären Matrix
2.5 Determinanten
2.6 Determinanten (Volumenberechnung)
  2.6.1 Die SARRUS-Regel
  2.6.2 Die Determinantenfunktion
  2.6.3 Die SARRUSsche Regel
  2.6.4 Der LAPLACEsche Entwicklungssatz
  2.6.5 Der Determinanten-Multiplikationssatz
  2.6.6 Der Entwicklungssatz
2.7 Eigenwertprobleme/Diagonalisierung von Matrizen
  2.7.1 Definitheit reeller Matrizen
  2.7.2 Quadriken (Kegelschnitte, Flächen 2.Grades)/Hauptachsentransformation

Beispiel: Differentialgleichung

y''+ 2by'+ cy = 0

Gesucht ist $y = y(x)$ ; $x (- R$ ; $c$ , $b = const.$

$y1$ sei Lösung: $'' ' y1 + 2by + cy = 0$
$y2$ sei weitere Lösung: $y'2'+2by'2 + cy2 = 0$

Die beiden Gleichungen werden addiert und wir erhalten:

(y1 + y2)''+ 2b(y1 + y2)'+ c(y1 + y2) = 0

Wir können auch mit einer Konstante $a$ multiplizieren:

(ay1)''+ 2b(ay)'+ cay = 0

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