2.1 Der Vektorraum

Es gibt eine Vorschrift, die es gestattet, Ausdrücke der Form $au + bv(a,b (- C, u,v (- V)$ zu bilden und die gewährleistet, daß $au + bv$ wieder zu $V$ gehören. $(V,+)$ ist eine abelsche Gruppe. („0 muß zu $V$ gehören“) Die Verknüpfung ${a,v}'--> av$ , wobei $a (- C$ und $v (- V$ , heißt skalare Multiplikation. Folgende Eigenschaften sind dabei kennzeichnend:

$(a+ b)v = av+ bv$
$a(v+ w) = av + bw$
$(ab)v = a(bv)$
$1v = v$

Der Vektorraum, der uns fast ausschließlich interessiert, ist:

( ) q1 n q2 C = {x| x = .. ,qj (- C} . qn

Eine Abkürzung dafür ist:

x = (qj)j=1,...,n),y = (jj)j=1,...,n

x+ y = (qj + jj)j=1,...,n

ax = (aqj)j=1,...,n

(0 ) 0 o = . .. 0

( ) -q1 -x = -q.2 .. -qn

Beispiele:

Vektorraum der stetigen Funktionen $C(0,1) = {f|f : (0,1) '--> C, stetig}$
Vektorraum der Polynome $P = {p|p : R '--> C, p ist Polynom vom Grad < n} n$

$p (- P3 : p(x) = a0 + a1x+ a2x2 + a3x3(a0,a1,a2,a3 (- C)$

$V$ sei Vektorraum: $U < V$ : $x (- L(U )$ $<==>$ Es gibt $u1$ , $u2$ , $...$ , $uk (- U$ ( $c1$ , $...$ , $ck (- C$ mit $sum k x = cjuj j=1$ . $L(U ) =$ Menge der endlichen Linearkombination von Elementen aus $U$ . $L(U)$ ist selbst Vektorraum: $sum k sum n cjuj + msvs j=1 s=1$ mit $cjuj (- L(U )$ und $msvs (- L(U )$ ist wieder eine Linearkombination von Elementen aus $U$ . Es ist $L(U) < V$ .

Beispiel:

3 3 3 R : a1,a2 (- R (a1 /= o,a2 /= o,a1 /||a2,U = {a1,a2} < R (- L(a1,a2) : x-=-ca1 +-ma2 (c,m (- R) Ebene durch o, die von aufgaes1p,aan2nt wird

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