2.2 Der Untervektorraum

$W < V$ , $V$ sei Vektorraum, heißt Untervektorraum (Teilraum) von $V$ , falls gelten:

$u$ , $v (- W$ $==>$ $u + v (- W$
$a (- R$ , $v (- W$ $==>$ $av (- W$

Beispiele:

$L(a1$ , $a2)$ ist Teilraum von $R3$ .
$P3$ ist Teilraum von $C(R)$ .
$g$ : $x(t) = x0 +ta$ , $t (- R$
Ist dies ein Unterraum? Nein, es sei denn $x0 = o$ .
$x(t) = ta,L(a = g“ ”$
$(0 ) . .. ej = (dlj)l=1,...,n = 1 0 ...$ , $j (- Cn$ : $L(e1,...,en)< Cn Vektorraum$ $( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a1 1 0 0 0 a2 0 1 0 ... sum n Cn : a = a3 = a1 0 +a2 0 +a3 1 +...+an 0 = ajej (- L(e1,...,en) ... ... ... ... 0 j=1 a 0 0 0 1 n$

$Cn < L(e1,...en) < Cn$

$n L(e1,...en) = C$

2.2.1 Lineare Abhängigkeit/Lineare Unabhängigkeit

$V$ sei Vektorraum: $a1$ , $...$ , $an < V$ heißen linear unabhängig, falls aus $c1a1 +c2a2 + ...cnan = 0$ folgt $c1 = c2 = ...= cn = 0$ .

Beispiel:

Folgende Vektoren $(- C3$ sind linear unabhängig:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 0 c1 0 , 1 , 0 : c1e1 + c2e2 + c3e3 = 0 = c2 0 0 1 0 c3

$V$ sei Vektorraum: $a1$ , $...$ , $an (- C$ heißen linear abhängig, falls die nicht linear unabhängig sind, d.h. es gibt:

sum n sum n| |2 cj = 0 f¨ur ||cj|| /= 0 j=1 j=1

Beispiel:

Auch sind folgende Vektoren $(- C3$ linear unabhängig:

( ) ( ) ( ) 1 0 1 b1 = 1 , b2 = 1 , b3 = 1 0 1 1

Wir betrachten außerdem $( ) 0 b4 = 1 0$ . $b1$ , $b2$ , $b3$ und $b4$ sind dann linear abhängig:

( c1 + c3 ) (0) c1b1 + c2b2 + c3b3 + c4b4 = o = c1 + c2 + c3 +c4 = 0 c2 + c3 0

b4 = b1 + b2 - b3 <== c1 = 1,c2,c3 = -1,c4 = -1

L(b1,b2,b3,b4) = L(b1,b2,b3)

Übung:

Drücke $e1,e2,e3$ durch $b1,b2,b3$ aus. Sind $a1$ , $a2$ , $...$ , $ak$ linear abhängig, so heißt das: $c1a1 + c2a2 + ...+ ckak = 0$ , wobei mindestens $cj /= 0$ . Es sei etwa $c1 /= 0$ . Damit ergibt sich $a1 = -cc2a2- c3ca3 - ...- cckak 1 1 1$ , das heißt: $L(a1$ , $a2$ , $...$ , $ak)$ = $L(a2$ , $...$ , $ak)$ . { $a1$ , $...$ , $an}$ sind linear abhängig, falls ein Vektor der Nullvektor $o$ ist.

2.2.2 Basis und Dimension

Eine Basis (Koordinatensystem) in einem Vektorraum $V$ ist eine Menge $B$ von Vektoren mit folgenden Eigenschaften:

$L(B) = V$
$B$ ist linear unabhängig.

Der Vektorraum heißt endlich dimensional, wenn es eine endliche Basis gibt. Der Vektorraum ist unendlich dimensional, wenn es zu jedem $n (- N$ n linear unabhängige Vektoren gibt.

Beispiele:

Beispiel 1: $L(e1,e2,...en) = Cn } e1,...,en sind Basis in Cn. e1,e,...,en sind linear unabha¨ngig.$
Diese nennt man kanonische Basis, natürliche Basis, Standardbasis.
Beispiel 2:
$b1$ , $b2$ , $b3 (- C3$ sind linear unabhängig.
$L(b1,b2,b3) (_ L(e1,e2,e3) (_ L(b1,b2,b3)$

$==> b1,b2,b3 ist Basis von C3.$
Beispiel 3:
$P3$ : $p0(x) = 1$ , $p1(x) = x$ , $2 p2(x) = x$ , $3 p3(x) = x$ sind Basis in $P3$ .
$L(p0,p1,p2,p3) = P3$

$2 3 c1 + c2x + c3x + c4x = 0,x (- R ==> c1 = c2 = c3 = c4 = 0$
Wie kann man das zeigen?
- 1.Möglichkeit:
  Setze vier $x$ -Werte ein und berechne $c1,c2,c3,c4$
- 2.Möglichkeit:
  Man kann auch nacheinander differenzieren und $x$ -Werte einsetzen.
  $”Ein Vektorraum hat viele Basen.“$

Satz:

Es sei $V$ ein Vektorraum und $v1$ , $v2$ , $...$ , $vn$ sei Basis. Es sei $a (- V$ . Dann gibt es eindeutig Zahlen

$a1$ , $...$ , $an$ mit $sum n a = ajvj j=1$ . $a1$ , $...$ , $an$ heißen Koordinaten von $a$ bezüglich der Basis $B$ .

$KB$ : $n V '--> C$ (Koordinatendarstellung bezüglich $B$ ): $( ) a1 a2 KB(a) = ... a n$ , falls $sum n a = ajvj j=1$

Beweis:

sum n a (- L(v1,...vn) = V ==> a = ajvj j=1

Zu überprüfen ist, daß aus $sum n a = bjvj j=1$ folgt $a1 = b1$ , $a2 = b2$ , $...$ , $an = bn$ .

sum n 0 = (aj- bj)vj---------- ---------> aj - bj = 0 f¨ur j = 1, ..., n j=1 v1,...,vn linear unabh¨angig

Beispiel:

$x (- L(a 1$ , $a 2$ , $...$ , $a ) k$ $==>$ $x$ , $a 1$ , $a 2$ , $...$ , $a k$ sind linear abhängig.

x = a a + a a + ...+ a a <==> a a + ...a a - x = 0 1 1 2 2 k k 1 1 k k

Beispiel für $R3$ :

sum 3 sum 3 a = ajej = bibi j=1 i=1

2.2.3 Umrechnung in andere Koordinatensysteme

Beispiel:

Beispiel 1: Es ist $a$ gegeben durch: $( ) 4 KE(a) = 6 (also a = 4e1 + 6e2 + 3e3) 3$

$( ) b1 KB(a) = b2 (das heißt a = b1b1 + b2b2 +b3b3) b3$
$b 1$ , $b 2$ und $b 3$ sind gesucht:
$( ) ( ) ( ) a = 4e1+6e2+3e3 = 4 b3- b2 +6 b1 + b2- b3 +3 b3- b1 = 3b1+2b2+1b3$

$( ) 3 KB(a) = 2 1$
Beispiel 2: $(a ) a0 KB = (a0 + a1x+ a2x2 + a3x3) = a1 a2 3$

$KB$ ist injektiv und surjektiv.

KB (a1 + a2) = KB (a1)+ KB (a2), KB (ca) = cKB(a)

Satz:

Es sei $v1$ , $v2$ , $...$ , $vn$ eine Basis des Vektorraums $V$ . $w1$ , $w2$ , $...$ , $wm (- V$ , $m > n$ . Dann sind

$w1$ , $w2$ , $...$ , $wm$ linear abhängig.

Beweis:

Wir nehmen an, daß $w1$ , $...$ , $wm$ linear unabhängig sind: $w1 = a1v1 + a2v2 + ...+ anvn$ . Ist etwa $a1 /= 0$ :

sum n v1 = -1w1 - -1- ajvj V = L(v1,...,vn) = L(v1,v2,v3,...,vn) a1 a1 j=2

sum n w2 = a1w1+ ajvj V = L(v1,v2,...,vn) = L(w1,w2,v3,...,vn) = L(w1,w2, ...,wn) j=2

Satz:

Es seien ${v1$ , $v2$ , $...$ , $vn}$ und ${w1$ , $w2$ , $...$ , $wn}$ Basen des Vektorraums $V$ . Dann gilt $n = m$ . $n := dim(V )$ (Dimension von $V$ )

Bemerkung:

$n > m$ und $n < m$ wird mit vorhergehendem Satz ausgeschlossen. Daraus ergibt sich $n = m$ .

2.2.4 Das Skalarprodukt

Wir erinnern uns:

(a ) (b ) K (a) = a 1 ,K (b) = b1 E a 2 E b2 3 3

a,b (- R3 : a o b = a1b1 + a2b2 + a3b3 = ||a||||b|| cos a

Definition:

Es sei $V$ ein Vektorraum. Ein Skalarprodukt ist eine Zuordnung der Art.

<, >: V ×V '--> C , die folgende Eigenschaften besitzt: {u,v}

$<u+ v,w> = <u,w >+ <v,w >$ für $u$ , $v$ , $w (- V$
$<au,w> = a <u,w >$ für $a (- C$ ; $u$ , $w (- V$
$<u,v> = <v,u>$ für $u$ , $v (- V$
$<u$ , $u> > 0$ für $u /= 0$ , $v (- V$
$----- <u,v> = <v,u>$

Übung:

Es ist zu zeigen, daß $<a,b> := a .b$ ein Skalarprodukt auf $R3$ ist.

<0,u> = <0.v,u> = 0<v,u> = 0

Beispiele:

Beispiel 1 $sum n -- Cn : <a,b> = akbk k=1$

$n n a = sum akej,b = sum bkek j=1 k=1$

$sum n--- sum n-- <b,a> = bkak = bkak = <a,b> k=1 k=1$

$<e ,e> = d k l kl$

$1 integral ---- C[0,1] : <f,g> = f(x)g(x)dx 0$
$f$ ist sowohl stetig als auch komplex.
Beispiel 2 $f(x) = eikx,g(x) = eilx$
Betrachten wir die $2p$ -periodische Funktion aus $C[- p,p]$ :
$1 integral p ---- <f,g> =--- f(x)g(x)dx : <f,g> = dkl 2p-p$

Ein komplexer Vektorraum $V$ mit Skalarprodukt $<,>$ heißt unitärer Raum. Ein reeller Vektorraum mit Skalarprodukt heißt euklidischer Raum.

Definition:

$V$ sei ein unitärer Raum mit Skalarprodukt $<,>$ : Die Zahl $V~ ----- ||u||= <u,v>$ heißt Norm von $u (- V$ . Es gelten:

$||u||> 0$ $A$ $u$ und $||u|| = 0$ nur für $u = 0$
$||au|| = |a|||u||$ für $a (- C$ , $u (- V$
$|<u,v>|< ||u||||v||$ (Schwarzsche Ungleichung)
$||u+ v|| < ||u||+ ||v||$ (Dreiecksungleichung)

|n | ( n ) 12 ( n )12 Cn :|| sum a b-||< sum |a |2 sum b |2 j=1 j j j=1 j j=1 j

1 1 | integral 1 ---- | ( integral 1 ) 2 ( integral 1 ) 2 C[0,1] :|| f(x)g(x)dx||< |f (x)|2dx |g(x)|2dx 0 0 0

In einem unitären Raum heißen $u$ , $v$ orthogonal zueinander, falls $<u,v> = 0$ gilt.

+ integral p C(- p,p) : <f,g> =-1 f (x)g(x)dx 2p -p

<eikx,eilx> = dkl

Cn : <ek,el> = dkl

Definition:

$V$ sei ein unitärer Raum. Ein System $u1$ , $u2$ , $u3$ , $... (- V$ heißt Orthonormalsystem (ONS), falls gilt:

$<uk,ul> = dkl$ $A$ $k$ , $l$
$||u ||= 1 k$

Satz:

Es sei $u1$ , $u2$ , $u3$ , $...$ ein Orthonormalsystem im unitären Raum $V$ . Dann sind je endlich viele $u1$ , $u2$ , $...$ linear unabhängig.

Beweis:

sum n akuk = 0 ==> ak = 0 k = 1,...,n k=1

< > n sum sum n sum n ak = ajdjk = aj<ujvk> = ajujuk = 0 j=1 j=1 j=1 -- 0

Beispiele für Orthonormalsystem in $Cn$ :

e1,e2,...,en :||ej||= 1,ej .ek = djk f¨ur j,k = 1,...,n

n sum n a (- C : a = (a-.ek)ek k=1 ak

ikx In C[- p,p] : ek(x) = e

+ integral p <e ,e > =-1- eijx .e-ikxdx = d j k 2p jk -p

+ integral p ^u(k) = -1- U (x)e-ikx dx = <u,ek> 2p-p

+ sum o o ikx + sum oo Fu(x) = ^ue = <u,ek>ek(x) k=- oo k=- oo

Aufgaben 2/4: Übergang von einer Basis zu einer Orthonormalbasis

2.2.5 SCHMIDTsches Orthonormalisierungsverfahren

Satz:

In einem unitären Vektorraum $(V,<.,.>)$ sind linear unabhängige Vektoren $a 1$ , $a 2$ , $a 3$ , $...$ gegeben. Gesucht sind Vektoren $b 1$ , $b 2$ , $b 3$ , $...$ mit: