2.3 Lineare Abbildungen/Matrizen

$3 3 3 a =_ R ,||a||= 1 : projaR '--> R ,proja(x = (x.a)a$
$h$ : $R3 '--> R3$ : $h(x) = x× F$ $(F (- R3$ gegeben („Drehmoment“)) $1 0 ' D : C (R) '--> C (R)Df = f$

$integral x I : C0(R) '--> C1(R)(If)(x) = f (t)dt 0$
Dies sind lineare Abbildungen.

Definition:

V,W seinen Vektorr¨aume. Eine Abbildung f : V '--> W heißt linear, falls gelten:

} 1.) f (v1 + v2) = f (v1)+ f(v2)(v1,v2 (- V ) f(av1 + bv2) = af(v1)+ bf(v2) a,b (- C;v1,v2 (- V 2.) f (av) = af(v)(v (- V,a (- C

Schreibweise/Formulierung:

L(V,w) = {f| f linear, f : V '--> W }

$f$ , $g (- L(V,W )$ , $a (- C$ : $( ) f + g (- L(V,W ),af (- L(V,W ) L(V, W ) ist Vektorraum.$
$c1$ , $...$ , $cn (- C$ ; $v1$ , $...$ , $vn (- V$ : $( n ) n f sum c v = sum c f(v) k=1 k k k=1 k k$
Aus $f (- L(V,W )$ folgt $f-1 (- L(W, V)$ .
$U$ , $V$ , $W$ seien Vektorräume. $! f (- L(V,W ),g (- L(W, U )---> g o f (- L(V,U)$

Beweis von A2 (Induktion):

Bekannt für $l- 1$ : Zu zeigen für $l$ .

( ) ( ) l sum -1 sum l- 1 f ckvk + clvl = f ckvk + f (clvl) k=1 k=1

Mit Induktionsvoraussetzung folgt:

(l- sum 1 ) l sum -1 f ckvk +f (clvl) = ckf(vk)clf (vl) k=1 k=1

Beweis von A3:

W -) wj = f(vj),vj (- V f¨ur j = 1, 2, ...

vj = f- 1(wj)

( ) f f-1(w) = w,f -1(f(w)) = v

f-1(aw1 +bw2) = f-1 (af (v1)+ bf (v2)) = f- 1(f (av1)+ f (bv2)) = f- 1(f (av1 + bv2)) = = a .v + b .v = af-1(w )+ bf- 1(w ) 1 2 1 2

(2.1)

f (- L(V,W ) :

$V$ sei $n$ -dimensional: ${v1,...,vn}$ sei eine Basis.
$W$ sei $m$ -dimensional: ${w1,...,wn}$ sei eine Basis.

sum n x = qjvj j=1

$qj$ sei Koordinate bezüglich der Basis ${vj}$ .

( n ) n f(x) = f sum q v A=2 sum q f(v ) j=1 j j j=1 j j

$f$ wird genau durch die Bilder der Basisvektoren festgelegt.

m sum W -) f(vj) = aljwl l=1

$( a ) a1j 2.j .. anj$ ist Koordinatenvektor von $f (vj)$ bezüglich Basis ${wl}$ . $a1$ , $a2$ , $...$ , $an$ $( (- Cn)$ kennzeichnen eindeutig $f$ .

( ) a11 a12 ... a1n a21 a22 ... a2n A = ... ... ... ... = (alk)l=k1=,1..,..,m..,n am1 am2 ... amn

$l$ sind die Zeilen und $k$ die Spalten der Matrix. $A$ heißt $(m, n)$ -Matrix, $C(m,n)$ ist die Menge der $(m, n)$ -Matrizen. $A = [a1,a2,...,an]$ nennt man die Spaltenform der Matrix.

( ) 1 0 0 ... 0 m,n 0 1 0 ... 0 C -) A = [e1,e2,...,en] = .. .. .. .. .. = En. . . . . . 0 0 0 ... 1

Diese Matrix heißt Einheitsmatrix. $A$ heißt Diagonalmatrix, falls $A (- C(m,n)$ und $a = c d lk lk lk$ . Hierfür wird auch geschrieben:

A = diag(c ,c ,...,c ) 11 22 nn

Die Schreibweise hat folgende Bedeutung:

$(m,n) A (- C$ mit $alk = 0$ $A$ $l$ , $k$ heißt Nullmatrix.
$A (- C(1,1)$ ist eine komplexe Zahl.
$A (- C(m,1)$ ist ein Vektor = Spaltenvektor
$(1,n) A (- C$ : $A = (a11 a12 ... a1n)$ heißt Zeilenvektor.

Satz:

$V$ , $W$ seien Vektorräume mit Basen ${v1,...,vn}$ bzw. ${w1,...,wm}$ . Bezogen auf diese Basen wird der linearen Abbildung $f : V '--> W$ die $(m, n)$ -Matrix $A = (alk)b=1,...,n k=1,...,n$ wie folgt zugeordnet:

$sum n f(vj) = aljwl l=1$

$aj$ ist der Koordinatenvektor von $f(vj)$ . $f$ wird bezüglich der gewählten Basen durch $A$ dargestellt.

Ist $A (- C(m,n)$ gegeben, so wird durch $sum n f(x) := aj qj j=1 (- Cn$ eine lineare Abbildung $Cn '--> Cn$ gegeben. Hierbei ist $sum n x = qjej j=1$ .

Weitere Beispiele für lineare Abbildungen:

2 2 dk : R3'--> R3 Drehung der Ebene um einen festen Punkt um den Winkel a R '--> R

Beispiel: Kreuzprodukt

Es sei $h$ : $3 3 R '--> R$ mit $h(x) = x × F$ , wobei $3 F (- R$ und konstant ist. Es gilt $3 V = W = R$ : Wähle kanonische Basis im Urbild und Bild. Gesucht ist $(3,3) R - ) A = [a1,a2,a3]$ .

(f ) F = f1 f2 3

e1× e2 = e3, e2 ×e3 = e1, e3× e1 = e2, ej× ej = o

a = h(e ) = e × (f e + f e + f e ) j = 1,2,3,... j j j 1 1 2 2 3 3

( 0 f3 - f2) A = -f3 0 f1 f2 -f1 0

proja : R3 '--> R3 Gesucht ist (3,3)- MatrixA = [a1,a2,a3] V '--> W

( ) a1 a = a2 a3

(a ) (a a ) a = proj (e ) = (e .a)a = a a1 = a1aj j a j j j a2 a2aj 3 3 j

( ) a1a1 a1a2 a1a3 A = a2a1 a2a2 a2a3 a3a1 a3a2 a3a3

Drehung:

(cos a - sina ) A = sin a cosa

( ) 0 f3 -f2 Aa = -f3 0 f1 f2 - f1 0

2.3.1 Rechnen mit Matrizen

A, B (- C(m,n) : A = B <==> (A)jk == (B)jk A j,k

Die Matrix $A$ gehört zur linearen Abbildung $f$ , $B$ gehört zu $g$ . Es sei $f (ej) = aj$ und $g(ej) = bj$ ; dann ist $f = g <==> f (ej) = g(ej) <==> aj = bj$ für $j = 1$ , 2, $...$ , $n$ .

$(m,n) A + B (- C <==> (A+ B)jk := (A)jk + (B)jk$
Es sei $c (- C$ . $cA (- C(m,n) <==> (cA)jk := c(A)jk$ $A$ $j$ , $k$
$-- -- ----- A (- C(m,n) <==> (A)jk := (A)jk$
Für die transponierte Matrix ergibt sich $T (n,m) T A (- C <==> (A )jk := (A)kj$ .

Beispiel:

( )T (1 4) 1 2 3 = 2 5 4 5 6 3 6

( ) A*( - C(n,m) <==> (A*)jk := (A)jk A*= AT)

Beispiel:

(1 i)* ( 1 -i) i 3i = - i - 3i

Bemerkungen/Beispiele:

$( ) q1 q2 n (m,n) .. = x (- C = C . qn$ $==>$ $T (m,n) x (- C$ , $T x = (q1,...,qn)$
$T T T (A + B) = A + B$ , $T T (cA) = cA$ , $T T TT (A ) = A = A$ $-- (A +B)T = A*+ B*,(cA)*= cA*, A**= A$

Beweis:

((AT)T) = (AT) = (A)jk jk jk

$A$ heißt hermitesch, falls $A = A*$ , d.h. $(-) (A)jk = A kj$ für $m = n$ .
$A$ heißt symmetrisch, falls $T A = A$ : $(A)jk = (A)kj$ für $m = n$ .
$A$ heißt schiefsymmetrisch, falls $A = -AT$ .

Es sei $A (- C(m,n)$ . Dann ist $A + AT$ symmetrisch:

(A + AT)T = AT + AT T = AT + A

$A - AT$ ist schiefsymmetrisch:

(A - AT)T = AT - A = - (A - AT)

Des weiteren läßt sich $A$ in einen symmetrischen und schiefsymmetrischen Anteil zerlegen:

A = 1 (A + AT) + 1(A - AT) 2-------- 2-------- symmetrisch schiefsymmetrisch

Diese Vorgehensweise benötigt man bei quadratischen Formen.

2.3.2 Multiplikation von Matrizen

$(m,n) [a1,...,an] = A (- C$	$[ ] (n,l) b1,...,bl = B (- C$	$(m,l) AB (- C$ (Matrixprodukt) $AB = [c1,...,cl]$


$,\|^$	$,\|^$	$,\|^$


$f$ : $Cn '--> Cm$	$g$ : $Cl '--> Cn$	$f o g$ : $Cl '--> m$

( (m)) sum n (m) f ek = ak = (A)jkej j=1

( ) sum n g e(sl) = bs = (B)kse(kn) k=1

m (f o g)(e(l))= c = sum (AB) e(m) j s j=1 js j

( ( )) ( sum n ) sum n ( ( )) sum n ( sum m ) f g e(ls) = f (B) e(n) = (B)ksf e(n) = (B)ks (A)jke(m) = k=1 ks k k=1 k k=1 j=1 j m ( n ) = sum sum (A)jk(B)ks e(m) j=1 k=1 j

(2.2)

sum n (AB)js = (A)jk(B)ks f¨ur j = 1,...,m und s = 1,...,l k=1

Satz:

Ist $A (- C(m,n)$ und $B (- C(n,l)$ , so ist das Matrizenprodukt $AB$ von $A$ und $B$ die $(m, l)$ -Matrix mit den Elementen:

$sum n (AB)js = (A)jk(B)ks k=1$ für $j = 1$ , $...$ , $n$ und $s = 1$ , $...$ , $n$

Beispiele/Bemerkungen:

(0 1) A = 0 1 /= O

( ) 1 1 B = 0 0 /= O

( ) AB = 0 0 = O 0 0

(0 2) BA = 0 0 : AB /= BA

Folglich ist das Matrizenprodukt nicht kommutativ.

$AB /==> A = 0$ oder $B = 0$ $AB /= BA$
$n (n,1) x , y (- C = C (qj)j(jk)k$ $( j ) j1 sum n sum xTy = (q1,q2,...,qn) 2. = jj .. j=1 j jn$

$( q1) ( q1j1 q2j2 ... q1jn) q2 q2j1 q2j2 ... q2jn xyT = . (j1,j2,...,jn) = . . . . .. .. .. .. .. qn qnj1 qnj2 ... qnjn$

$n x*y = sum q jj = <x,y> j=1 j$

$sum -- sum - <x,y> = qjjj <x,y> = qjjj$
$T T T T T T (AB) = B-A- Ziel: ((AB) )kl = (B A )kl (m,n)(n,l) (l,n)(n,m) -(m,l) (l,n) -- -- (l,n)$ $sum n sum (A)lj(B)jk = (BT)(AT)jl = (BTAT)kl j=1 j$
$A B C = (AB) C = A (BC) (m,n)(m,l)(l,k)$ $sum l sum l sum n sum sum [(AB) C]rs = (AB)rj(C)js = (A)rp(B)pj(C)js = (A)pj (B)pj(C)js = [A (BC)]rs j=1 j=1p=1 p j$

$(A +B) C = AC +BC } falls diese Produkte zu bilden sind A(B + C) = AB + AC$
$( q1) q2 A (- C(m,n),x (- C(n,m) Ax (- Cm,x = .. . qn$ $sum n sum n (Ax)j = (A)jk(cqjk) = c (A)jkqk j = 1,...,n) k=1 k=1$

$A (cx) = cAx c (- C,x (- Cn, A (- C(m,n)$

$A (x + y) = Ax + Ax x,y (- Cn$

$x n '--> Ax(m,n) ist linear. C '--> C$

$( ) (A)1k A e(n)= (A)2k = a Ae(n)= a k ... k k k (m,n) (A)nk$

$( )T AT e(km)= k- te Zeile von A : ATe(kn) = e(knT)= ((A)k1,(A)k2,...,(A)kn) (n,m)$
$A = [a,a ,...,a ] (- C(m,n) 1 2 n$ $( ) sum n sum n sum n sum n x = qjej Ax = A qjej = qjAej = qjaj = f(x) j=1 j=1 j=1 j=1$

$( ) A = cosa -sina sina cosa$

$(x cosa -ysina) f (x) = Ax = x sina y cosa$

$sum n Ax = qjaj j=1$

$(1 0 ... 0) 0 1 ... 0 En = [e1,e2,...,en] = . . . . .. .. .. .. 0 0 ... 1$
$[ ] A = [a1,...,an], B = b1,...,bl AB = C = [c1,c2,...,cl] (m,n) (n,l)$ $(l) ( (n)) ck = (AB) ek = A Bek = Abk$
Es kann $AE = A = E A n n$ als Übung gezeigt werden.
$A (- C(n,n) : EA = AE = A$

2.3.3 Lineare Gleichungssysteme: GAUßscher Algorithmus

I1 + I2 + = I I2 - I3 - I4 = 0 I1 + I3 - I5 = 0 R1I1 + R2I2 - R3I3 = 0 - R3I3 + R4I4 - R5I5 = 0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 0 0 I 0 1 - 1 -1 0 0 I1 1 + I2 0 + I3 1 + I4 0 + I5 -1 = 0 R1 R2 -R3 0 0 0 0 0 -R3 R4 - R5 0

( ) ( ) ( ) 1 1 0 0 0 I1 I 0 1 - 1 - 1 0 I2 0 1 0 1 0 - 1 I3 = 0 R1 -R2 -R3 0 0 I4 0 0 0 -R3 R4 -R5 I5 0 ------------ ------------ -x - -y- A(5,5)

Dies ist ein lineares Gleichungssystem.

Problem:

Gegeben ist $(m,n)$ -Matrix $A$ und $m y (- C$ . Gesucht sind $n x (- C$ mit $Ax = y$ :

A = (ajk)jk==11,..,...,.,nn

Ax = y

a11q1 + a12q2 + ...+ a1nqn = j1

a21q1 + a22q2 + ...+ a2nqn = j2

. ..

am1q1 + am2q2 + ...+ amnqn = jn

$Ax = x$ heißt die zugehörige homogene Gleichung. $Ax = y(/= o)$ ist die inhomogene Gleichung.

Was kann passieren?

a11q1 + a12q2 + a13q3 = j1 } a21q1 + a22q2 + a23q3 = j2 Anschaulich: Schnitt von 3 Ebenen a31q1 + a32q2 + a33q3 = j3

} 3q1 + 2q2 = 1 3q1 + 2q2 = 2 keine Lo¨sung

} 3q1 + 2q2 = 1 genau eine L¨osung 3q1 + q2 = 5

3q + 2q = 1 } 1 2 unendlich viele Lo¨sungen

$(A,y) = [a1,a2,...,an,y] (m,n+1)$ beinhaltet die Informationen, die gegeben sind.

Satz:

$Ax = y$ ist linear. $<==>$ $y (- L (a1,a2,...,an)$

$sum n Ax = qjaj = y j=1$

Folgerung:

Sind $a1$ , $a2$ , $...$ , $an$ , $y$ linear unabhängig. $Ax = y$ ist nicht lösbar.
Das homogene Problem ist stets lösbar.

Achtung: Daraus, daß $a1$ , $a2$ , $...$ , $an$ , $y$ linear abhängig sind, folgt nicht, daß $Ax = y$ lösbar ist.

Unter dem Rang einer Matrix versteht man:

Maximalanzahl linear unabhängiger Zeilen
Maximalzahl linear unabhängiger Spalten

Durch elementare Zeilenumformungen werden der Rang einer Matrix $A$ und die Lösungsgesamtheit des Gleichungssystems $Ax = y$ nicht verändert.

( 0 2 4 6|4 ) ( 1 0 0 - 1 |0 ) ( 0 2 6 0 |2 ) ( 1 0 0 2 |-1 ) 0 0 3 3|0 0 1 0 1 |2 2 0 4 0 |3 0 -1 0 3 |-22 2 4 6 8|8 0 0 1 1 |0 2 3 6 7 |1 0 0 1 - 1 | 1 0 2 10 12|4 0 0 0 0 |0 0 2 7 9|4 0 0 0 0 |0

( 1 3 -4 3 | 9 ) ( 1 3 0 -5 |-3 ) 3 9 -2 -4 |- 3 0 0 1 -2 |-3 4 12 -6 -8 | 6 0 0 0 0 | 0 2 6 2 -14 |- 2 0 0 0 0 | 0

rang(A) = dimR(A) = dim R(AT)

Wir betrachten $Ax = y$ . Es sei $A (- C(m,n)$ , $y = Cm$ und $x (- Cn$ gesucht. Nimm $(A,y)$ :

1.) (Ay) ==> (A ~, ~y) Zeilennormalform

-q1--------qk1----qk2----qk3---------qkr----qn------- 0 0 0 1 2 0 4 0 5 ... 0 5 4 ~j1 0 0 0 0 0 1 2 0 4 ... 0 7 3 ~j2 . . 0 0 0 0 0 0 0 1 7 .. 0 8 6 .. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ... 0 9 7 ... . . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 .. 0 2 8 .. ... 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . 1 3 9 ~jr 0 0 0 0 0 0 0 0 0 .. 0 0 9 ~jr+1 .. .. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . 0 0 2 . ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

Rang $(A) = r$
$Ax = y$ ist nicht lösbar, falls $~jk /= 0$

sum qk1 = ~j1 - ~a1lql l/=lk>2k,.1..,kr { qk2 = ~j2 - sum ~a2lqk (ZN) l>k2 l/=k3,...,kr ... sum qk3 = ~j3 - ~arlql l>kr

A~= (~ajk)j=1,...,m k=1,...,n

Jeder Vektor $( ) q1. x = .. qn$ , für den $q1$ , $...$ , $qn$ Lösung von $Ax = y$ .

Satz:

Gegeben sind $A (- C(m,n)$ , $y (- Cm$ . Das System $Ax = y$ sei lösbar. Es sei rang $(A) = r$ . Dann hat das homogene Problem $Ax = o$ $n - r$ linear unabhängige Lösungen $x(1)$ , $x(2)$ , $...$ , $x(n-r)$ und die allgemeine Lösung von $Ax = y$ lautet dann:

$n sum -r (j) xallg = xp + cjx j=1$ , wobei die $c1$ , $...$ , $cn-r$ beliebige komplexe Zahlen sind und $xp$ eine Lösung von $Ax = y$ ist.

$x p$ =? $( ) q1 ... qn$ erfüllt man wie folgt: Setze $q = 0 l$ , wobei $l /= k 1$ , $k 2$ , $...$ , $kn$ und berechne $qk1$ , $...$ , $qkr$ aus der Zeilennormalform. $~ qk1 = j~(1),qk2 = ~j2,...,qk = ~jr$
$x(1)$ , $...$ , $x(n-r)$ werden wie folgt bestimmt. Setze in (ZN) $~j1 = ~j2 = ...= j~r = 0$ .
Die $n- r$ Koordinaten jedes Lösungsvektors, die auf der rechten Seite von (ZN) stehen, können beliebig gewählt werden; die $qk1$ , $...$ , $qkr$ sind dann durch (ZN) festgelegt. Setze der Reihe nach eine der frei wählbaren Koordinaten gleich 1 und alle anderen gleich Null und berechne jeweils $qk1$ , $...$ , $qkr$ aus (ZN). Auf diese Weise erhält man $n - r$ linear unabhängige Lösungen des homogenen Problems. $( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) 0 1 1 0 1 2 1 (1) - 1 2 1 xp = 0 xp = -1 ;x = - 1 : xallg = 0 + c -1 0 1 1 0 1$

$q1 = - 3- 3q2 + 5q4$

$( 3 ) (- 3) (5 ) 0 1 0 xp = -3 ;x(1) = 0 ,x(2) = 2 0 0 1$

$( ) ( ) - 12 -2 - 2 (1) -3 xp = 1 ,x = 1 0 1$

$( 1) ( ) - 2 - 2 xallg = -2 + c - 3 1 1 0 1$

Satz:

$A (- C(m,n)$ , $y (- Cn$ seien gegeben. $Ax = y$ sei lösbar. Dann folgt:

Aus $r = rang(A) = n$ folgt, daß $Ax = y$ eindeutig lösbar ist. Das homogene Problem besitzt wegen $n - r = 0$ nur die triviale Lösung $x = o$ .

r = n < min(n,m)

Die Voraussetzung des Satzes sind nur möglich, falls $m = n$ oder $m > n$ ist.

Satz:

Ein homogenes Problem mit mehr Unbekannten als Gleichungen $(n > m)$ besitzt stets nichttriviale Lösungen. (Negation von vorhergehendem Satz)

Folgerung:

Es sei $n > m$ und $n a1 (- C$ , $n a2 (- C$ , $...$ , $n an (- C$ : $qia1 + ...+ qnan = Ax = o$ . Daraus folgt $|q1| + |q2| + ...+ |qn|/= 0$ , das heißt: $a1$ , $...$ , $an$ sind linear abhängig.

Satz:

$A (- C(m,n)$ . Dann gelten:

$Ax = y$ ist für jedes $y (- Cn$ eindeutig lösbar.
$Ax = o$ besitzt nur die triviale Lösung.
$rang(A) = n$
$Cn$ $'-->$ $Cn$
$x '--> Ax$ ist surjektiv und injektiv.

$(1) '--> (2)$
Setze in (1) $y = o$
- Voraussetzung: $Ax = o$ $==>$ $x = 0$
- Ziel: $a1$ , $...$ , $an$ sind linear unabhängig: $(c1 ) . A .. =o cn ----------- ----------- c1a1 + c2a2 + ...+ cnan = o ==> c1 = c2 = ...= cn$
$(3) '--> (1)$
Die Voraussetzung ist, daß $a1$ , $...$ , $an$ linear unabhängig sind. Daraus folgt, daß $a1$ , $...$ , $an$ Basen in $Cn$ sind. Jedes $y (- Cn$ besitzt eine eindeutige Darstellung $y = q1a1 + ...+ qnan = Ax$ . Ziel: $Ax = y$ besitzt genau eine Lösung für jedes $y$ .

[next] [prev] [prev-tail] [front] [up]