2.5 Determinanten

A sei (n,n)- Matrix. ==> det(A) (- C

Permutationen $s$ heißt Permutation der Zahlen $1$ , $2$ , $...$ , $n$ , falls folgendes gilt:
$s$ ist eine bijektive Abbildung: ${1,2,...,n}$ nach ${1,2,...,n}$ .

Schreibweise:

s = (s(1),s(2),...,s(n))

Beispiel:

Ss = f = (2,3,5,1,4)

f(1) = 2

f(2) = 3

f(3) = 5

f(4) = 1

f(5) = 4

$Sn$ bezeichnet alle Permutationen der Zahlen $1$ , $...$ , $n$ .

Y (- S5 : Y = (1,3,4,5,2)

Y o Y = (f o Y(1),f o P si(2),f o Y(3),f o Y(4),f o Y(5)) = = (f(1),f(3),f(4),f(5),f(2)) = = (2,5,1,4,3)

(2.3)

id = (1,2,...,n)

f = (2,3,5,1,4)

f-1 = (4,1,2,5,3)

fo f-1 = f-1 o f = id

Permutationen, die zwei Elemente vertauschen, alle anderen festlassen, heißen Transpositionen.

Sn - ) t = (jk)

Es gilt $t(l) = l$ , $t(j) = k$ und $t(k) = j$ für $l /= j$ , $k$ .

t (- S4 : t = (23) t = (1,2,3,4) = (1,3,2,4)

t o t = id t o t o (1,2,3,4) = t o (1,3,2,4) = (1,2,3,4)

-1 t = t

Jede Permutation kann als Produkt von Transpositionen geschrieben werden und zwar auf viele Arten.

(5,3,4,1,2) = (15)o (23)o (34)o (45)

Beispiel:

Es seien $f$ , $Y (- Sn$ .

fo Y = (f(Y(1)),f(Y(2)),...,f(Y(n)))

f = (1,3,2,4),Y = (2,4,1,3) f o Y = (3,4,1,2)

id (- Sn,Y -1 = (3,1,4,2)

f = (1,3,2,4) = (23)o id = (23)

Satz:

Jede Permutation $s (- Sn$ kann als Produkt von Transpositionen geschrieben werden:

$s = t1 o t2 o ...o tk$ $(tj (- Sn$ sind Transpositionen.)

Es sei $S5 - ) s = (5,3,4,1,2)$ .

(12) o (24)o (23)o (15)o (1,2,3,4,5) = (12)o (24)o (23)o (5,2,3,4,1) = (12)o (24)o (5,3,2,4,1) = = (12)o (5,3,4,2,1) = (5,3,4,1,2) = s = (12)o (24) o (23)o (15) = (25)o (14)o (13)o (12) = = (15)o (23)o (34)o (45)o (23)o (12)o (13)o (12)

(2.4)

Satz:

Jede Darstellung von id $(- Sn$ als Produkt von Transpositionen besteht aus einer geraden Anzahl von Transpositionen.

Der Beweis kann beispielsweise mit Vollständiger Induktion erfolgen.

Satz:

Eine Permutation $s (- Sn$ kann nicht gleichzeitig als Produkt einer geraden Anzahl von Transpositionen und als Produkt einer ungeraden Anzahl von Transpositionen geschrieben werden.

Beweis:

s = t o t o ...o t = ~t ot~ o ...o ~t 1 2 k 1 2 l

Zu zeigen: Entweder $k$ und $l$ sind gerade, oder $k$ und $l$ sind ungerade. $<==>$ $k + l$ ist gerade.

id = t1o t2o ...o tko (~t1 o ~t2 o ...o ~tl)-1 = t1o t2o ...o tko ~t-l1o ~t-l-11...o ~t-21ot~-1 1

Satz id = t1 o t2 o ...o tk o ~tl o ~tl-1 o ...o ~t1-----> k+ l gerade

Definition:

Vorzeichen von $s - ) Sn$ : $sign(s) = (- 1)k$ , wenn $s = t1 o t2 o ...o tk$ .

Ist sign $(s) = +1$ , so heißt $s$ gerade.
Ist sign $(s) = - 1$ , so heißt $s$ ungerade.

Folgerungen:

$sign(t) = - 1$ , wenn $t$ eine Transposition ist.
$sign(s o f) = sign(s)sign(f)$ für $s$ , $f (- S n$ $k f = t1 o ...o tk sign(f) = (- 1) s o f = ~t1 o ...o ~tl o t1 o ...o tk$

$s = ~t1 o ...o ~tk sign(s) = (-1)l sign(s o f) = (- 1)k+l$
$sign(s) = sign(s-1)$ , $s (- Sn$ (Beweis als Übung)

Definition:

$j$ , $k (- {1,...,n}$ , $s (- Sn$ . Das Zahlenpaar ${j,k}$ heißt Fehlstand von $s$ , falls $j < k$ und $s(j) > s(k)$ ist. $f(s)$ bezeichnet die Anzahl der Fehlstände von $s$ .