3.5 Differenzieren von Funktionen f : S < <img src="msbm10-52.gif" alt="R" class="10x-x-52" />n '<img src="cmsy10-21.gif" alt="-->" class="10x-x-21" /> <img src="msbm10-52.gif" alt="R" class="10x-x-52" />n

3.5 Differenzieren von Funktionen $n n f : S < R '--> R$

$S$ sei offen. $f : I(offen) < R '--> R ist in x0 (- I$ differenzierbar, falls es eine lineare Abbildung $l : R '--> R$ so gilt, daß der durch $f(x0 + h) = f(x0)+ l(h) +r(h) a(h)$ bei 0 definierte Rest $r$ die Bedingung $r(h) lhim'-->0 h = 0$ erfüllt. $' a = f (x0) = l(x)$ ist die Ableitung von $f$ in $x0$ . $l$ heißt Differential von $f = x0$ .

Definition (Ableitung):

$f : S (- Rn '--> Rm, S$ offen, heißt in $x0 (- S$ differenzierbar, falls es eine lineare Abbildung $L : Rn '--> Rm$ gibt derart, daß der durch

$f(x0 + h) = f(x0)+ L(h)+ R(h)$

bei $o$ definierte Rest $R$ der Bedingung $R(h) lhim'-->0 ||h||--= 0$ genügt.

Bemerkung:

$( ) L heißt das Differential von f in x0 : geschrieben Df(x0)$ . Wird $L$ bezüglich von Basen in $Rn,Rm$ durch eine Matrix dargestellt, so heißt diese Matrix Ableitung von $f$ in $x0$ , geschrieben $f'(x0)$ .

Ist $f : S < Rn '--> Rm$ differenzierbar in $x0 (- S$ , so gibt es eine $(m,n)$ -Matrix $' f(x0 + h) = f(x0)+ f(x0)h+ R(h)$ , wobei $R(h)- lhim'-->0 ||h|| = o$ gilt.

Folgerung:

Ist $f$ in $x0$ differenzierbar, so ist $f$ in $x0$ stetig.

-xy2--- { x2 + y4 (x,y) /= (0,0) f(x,y) = 0 (x,y) = (0,0)

Diese Funktion ist in $(0,0)$ nicht differenzierbar, da sie dort unstetig ist. (Obwohl $Dvf (0,0)$ für alle $v /= o$ existiert.)

Beispiel:

$A$ sei eine konstante $(m,n)$ -Matrix. $f(x) = Ax$ , $f$ : $Rn '--> Rm$

Dvf (x) = Av

f(x+ h)- f(x) = A(x + h)- Ax = Ah + o ==> f'(x) = A

' f (x)v = Av = Dvf (x)

Satz:

Es sei $f : S < Rn '--> Rm$ in $x0$ differenzierbar mit der Ableitung $f'(x0)$ . Dann existiert $( ) Dvf (x0)$ für jedes $v (- Rn,v /= o$ , und es gilt:

$( ) f'(x )v = D f (x ) 0 v 0$

Beweis:

Sei $v /= o$ gegeben. Setzen in die obige Definition $h = tv$ ( $t (- R,| t|$ genügend klein).

f(x0 + tv) = f (x0) = tf'(x0)v + R(tv) |: t

( ) Dvf (x0) t<--'-->-0-- 1 f(x0 + tv)- f(x0) = f'(x0)v + ||v||R(v)-t-'-->-0--> f'(x0)v t t||v||

Folgerungen/Bemerkungen/Beispiele:

Es sei $f$ in $x0$ differenzierbar. Setze in Satz 3 $v = ej$ für $j = 1$ , $...$ , $n$ .

[ ] f'(x0)ej = Djf (x0) : f'(x0) = D1f (x0),D2f(x0),...,Dnf (x0) = Dp(x0)

$' f (x0)ej$ ist die $j$ -te Spalte der Abbildungsmatrix. Setze in Satz 3:

( v ) sum n v1 v = vkek = 2. k=1 .. vn

n sum vkDkf (x0) = f'(x0)v = Dvf(x0) k=1

Setze $m = 1$ :

|-------------------| f : S (_ Rn '--> Rm :|Dvf (x0) = v . \~/ f (x0) --------------------

Dvf(x0) = v . \~/ f(x0) = ||v|||| \~/ f (x0)|| cosf

Beispiel:

T (m,n) A = A ,A (- R = const.

T n f(x) = x Ax f : R R

Für eine symmetrische Matrix $A$ gilt:

xTAh = (xTAh)T = hTAx

f(x+h)- f(x) = (x+h)TA(x+h) -xTAx = hTAx-+ xTAh-+hTAh = 2xTAh+hTAh) = L(h+R(h) 2xTAh

hTAh ( h2+ 2h h + h2) L = 2xTA = f '(x), da lim -----= 0 Beispiel: -1 V~ -21-2-2-2- h'-->0 ||h|| h1 +h 2

Es sei $n = 2$ , $m = 1$ und $z = f(x,y)$ die explizite Darstellung (differenzierbar) einer Fläche mit $z0 = f(x0,y0)$ .

( ) f(x,y) = z + D f(x ,y )D f(x ,y) x- x0 +R(x - x ,y- y ) 0---1---0--0--2 --0-0---y--y0-- 0 0 z=g(x,y)=z0+D1f(x0,y0)(x-x0)+D2f(x0,y0)(y-y0) Gleichung einer Ebene durch (x0,y0,z0)

Dies ist eine Tangentialebene an die Fläche $z = f(x0,y0)$ in $P$ . Der Normalenvektor der Ebene lautet:

( ) D1f(x0,y0) n = D2f(x0,y0) - 1

Wir schauen uns folgende Menge an:

max{Dvf (x0|||v||= 1}= || \~/ f (x0)|| f¨ur vmax =- \~/ f-(x0) || \~/ f (x0)||

min{Dvf (x0)|||v||= 1}= -|| \~/ f (x0)|| f¨ur vmin = -- \~/ f-(x0) || \~/ f (x0)||

m = 1,n = 2 : z = f(x,y)

( x ) ( x0 ) ( x0 + tD1f(x0,y0) ) r(x,y) = y ,r0 = y0 ,C = r(t) = y0 + D2f (x0,y0) ,t (- R,C < F f(x,y) f(x0,y0) f(x0 + tD1f,y0 + tD2f)

Bewegt man sich von $t = 0$ aus in Richtung ${ wachsender t- Werte (t > 0) } fallender t- Werte (t < 0)$ , so bewegt man sich auf der Fläche auf der Linie des ${ st¨arksten Anstiegs } gr¨oßten Abfalls$ , der sogenannten Fallinie.

Beispiel:

z = x2 + y2

(x ) f(x,y), \~/ f = 2 y

Übung:

x2y { x2 +-y2 f¨ur (x,y) /= (0,0) f(x,y) = 0 f¨ur (x,y) = (0,0)

Zeige, daß $f$ in (0,0) nicht differenzierbar, aber stetig ist.

3.5.1 Differenzierbarkeitskriterium

Satz:

$f : S (_ Rn '--> Rm$ sei gegeben.

$( f1) f2 f = .. . fn$

Falls alle $m .n$ partielle Ableitungen $Djfk(j = 1,...,n,k = 1,...,n)$ in einer Umgebung von $x0 (- S$ existieren und in $x0$ stetig sind, dann ist $f$ in $x0$ differenzierbar.

x2y { x2 +-y2 f¨ur (x,y) /= (0,0) f(x,y) = 0 f¨ur (x,y) = (0,0)

Bei der Funktion $f(x,y)$ ist beispielsweise $D1f$ in $(0,0)$ unstetig.

3.5.2 Kettenregel

Satz:

Es sei $p n n m g : R '--> R ,f : R '--> R$ . $g$ sei in $x0$ und $f$ sei in $g(x0)$ differenzierbar. Dann ist $f o g : Rp '--> Rm$ in $x0$ differenzierbar. Es gilt:

$( )' f o g (x- 0) = f'(g(x0))g'(x0) ----- ----- --- --- - - (m,p) -(m,n) -(n,p) (m,p)$

Beispiel:

Es sei $p = m = 1$ , $n = 2$ . Wir betrachten die Funktionen $g$ : $R '--> R2$ und $f$ : $R2 '--> R$ .

( ) t3 x g(t) = 1 + t2 , f(x,y) = e siny

t3 2 ' f o g : R '--> R,(f o g)(t) = f(g(t)) = e sin(1+ t ) = h(t),h (t) (siehe HM I)

(f o g)'(t) = f'(g(t))g'(t)

' ( t3 2 t3 2 ) f(g(t)) = (D1f (g(t)), D2f(g(t)) = e sin(1 + t), e cos(1+ t )

( 2) g'(t) = 3t 2t

' 2 t3 2 t3 2 (f o g) (t) = 3te sin(1+ t )+ 2te cos(1+ t )

Beispiel:

Es sei $F$ : $n R '--> R$ und $r$ : $n R '--> R$ .

( x1(t)) x2(t) F = F(x),r = r(t) = . .. xn(t)

g(t) = F (r(t)) = (F o r)(t)

' ' ˙ ( )T ˙ ˙ sum n g(t) = F (r(t)).r(t) = \~/ F (r(t)) r(t) = \~/ F (r(t)).r(t) = DkF (r(t))x˙k(t) k=1

Für den Fall $n = 3$ ist $F(x,y,z) = const.$ die implizite Darstellung einer Fläche. Durch $ax +by + cz = 5$ wird beispielsweise eine Ebene dargestellt und $2 2 2 x + y + (z - 3) = 3$ ist eine Kugel um $M (0| 0|3)$ mit Radius $V~ - 3$ .

( ) x(t) C : r(t) = y(t) f¨ur t (- I z(t)

C < F, d.h. F (x(t),y(t),z(t)) = const. A t

' ˙ g(t) = \~/ F (r(t)).r(t) = 0

$˙ \~/ F (r(t)) _L r(t)$ ist die Tangentenrichtung an $C$ in $r(t)$ .

Folgerung:

$\~/ F (r(t)) 0$ ist der Normalenvektor von $F$ in dem Punkt $P$ , der durch $r(t) 0$ gegeben ist.

Satz:

Es sei $F : S (_ R3 '--> R$ differenzierbar und $\~/ F /= o$ in $S$ . $F$ sei die durch $F (x,y,z) =$ const. implizit definierte Fläche. Der Punkt $P$ mit dem Ortsvektor $( x0) r0 = y0 z0$ liege auf $F$ , d.h. $F(r0) = const.$

Dann ist $(r- r0). \~/ F (r0) = 0$ die Gleichung der Tangentialebene an $F$ in $P$ . Die Gleichung lautet also:

(x- x0)D1F (x0,y0,z0)+ (y- y0)D2F (x0,y0,z0)+ (z -z0)D3F (x0,y0,z0) = 0

z = f(x,y)

F (x,y,z) = f(x,y) -z = 0

(x- x0)D1f(x0,y0)+ (y- y0)D2f (x0,y0)+ (z- z0)(-1) = 0

3.5.3 Parameterdarstellung einer Fläche $F$ in $R3$

(f (u,v)) f : S (_ R2 '--> R3 f(u,v) = 1f(u,v) sei differenzierbar. (0,0) (x,y,z) 2f(u,v) 3

Beispiel:

( ) u f(u,v) = v f(u,v)

Eine Kugel um den Ursprung mit Radius 1 wird beschrieben durch:

( ) cosfcosh p p f(f,h) = sin fcosh fu¨r 0 < f < 2p und ---< h < -- sin h 2 2

r0 = f(u0,v0)

C1 : r1(t) = f(u0 + t,v0)

C2 : r2(t) = f(u0,v0 +t)

( )[ ]( ) ˙r1(0) = f'(u0,v0) 1 D1f(u0,v0),D2f (u0,v0) 1 = D1f (u0,v0) 0 0

r˙2(0) = D2f (u0,v0)

Die Parameterdarstellung für die Tangentialebene lautet:

x(c,m) = r0 + cD1f (u0,v0)+ mD2f (u0,v0)

( ) (r- r0). D1f (u0,v0)× D2f (u0,v0) = 0

F (x,y,z) = 0, \~/ F /= o

f = f(u+ v)

D1f (u,v)× D2f(u,v) /= o glatte Fl¨ache

Definition:

$n f : S (_ R '--> R$ in $x0 (- S$ $k$ -mal stetig differenzierbar $k (C )$ , falls alle partiellen Ableitungen bis einschließlich der Ordnung $k$ bei $x0$ existieren und in $x0$ stetig sind.

Beispiel:

1 f(x1,x2,x3) = (sinx1)ey2 x- (- C25 3

Satz:

$f : S (_ Rn '--> Rm$ stetig differenzierbar $( (- C1(S))$ , so ist $f$ differenzierbar.

Andere Betrachtungsweise des Gradienten:

Es seien $F$ und $r$ wie zuvor definiert. $N = {x (- S| F (x) = c}$ bezeichnet man als Niveaumenge von $F$ . Es gilt $\~/ F (x0)$ $_L$ $N$ für $x0 (- N$ . Niveaumengen heißen für $n = 2$ Höhenlinien und für $n = 3$ ÄQUIPOTENTIALFLÄCHEN.

Beispiel:

Temperaturfeld: $m = T(x,y,z)$
Wärmeflußvektor: $j = -k\ ~/ T$ mit der Wärmeleitfähigkeit $k = const. > 0$

Satz:

$( ) f : R3 '--> R, f (- C2 \~/ . \~/ × v = 0 } v : R3 '--> R3,v (- C2 ( ) \~/ × \~/ f = o$

Definition:

Ein Vektorfeld $3 3 F : R '--> R$ heißt Gradientenfeld/Potentialfeld/konservatives Feld, falls es ein $C1$ -skalares Feld $V : R3 '--> R$ gibt mit $F = \~/ V$ . ( $V$ heißt Potential zu $F.)$

Aus Satz 2 folgt:

Für ein $C1$ -Potentialfeld $F$ gilt: $\~/ × F = o$ ( $F$ ist wirbelfrei.) Ist $F$ ein Potentialfeld, so gilt $\~/ × F = o$ .

Gegeben sei $(F ) F = F 1 F 2 3$ . Ist $F$ ein Potentialfeld?

Falls $F$ ein Potentialfeld ist, folgt $F1 = D1V$ , $F2 = D2V$ und $F3 = D3V$ .

Beispiel: Graviationsfeld/COULOMBkraftfeld

c ( c ) F(x) = ||x||3x = - \~/ ||x||

Die Äquipotentialflächen sind nichts anderes als Kugelflächen:

V(x) = -c- = const. ||x||

c ||x|| = const.

Die Kraft steht senkrecht auf den Äquipotentialflächen (Kugelflächen).

3.5.4 Anwendung der Kettenregel (Differentiation von Parameterintegralen)

q integral (y) F (y) f (x,y)dx F '(y) = ? p(y)

Voraussetzung:

$f = f(x,y)$ ist auf $R = {(x,y)| a < x < b$ , $c < y < d}$ definiert und stetig. $D2f (x,y)$ existiere und sei stetig auf $R$ . Daraus folgt (ohne Beweis): $integral b integral b integral b ' -@- I(y) = f (x,y)dx,I (y) = @y D2f (x,y)dx = D2f (x,y)dx a a a$
$p$ , $q$ : $[c,d] '--> [a,b]$ sei differenzierbar. Es gilt: $q integral (y) F'(y) = q'(y)f(q(y),y)- p'(y)f(p(y),y)+ D2f (x,y)dx p(y)$