3.7 Relative (Lokale Extremwerte)

$S (_ Rn$ offen, $: S '--> R$ besitze in $x0 (- S$ ein relatives Maximum (Minimum), falls $f(x) < f(x0)$ bzw. $f(x) > f(x0)$ für alle $x$ aus einer Umgebung von $x0{x|||x- x0||< e}$

Gilt „ $<$ “ („ $>$ “) $A$ $x (- U \{x0}$ , so heißt der Extremwert eigentlich (isoliert).

Beispiel:

f(x,y) = x2 + y2,S = {(x,y)|x2 + y2 < 1}

Das Minimum liegt bei $(0,0)$ ; ein Maximum gibt es nicht.

Satz:

$f : S '--> R$ sei stetig differenzierbar. In $x0 (- S$ besitze $f$ einen lokalen Extremwert. Dann gilt $\~/ f (x0) = o$ .

Beweis:

Es ist $gk$ : $[- e,e] '--> R$ . Bei $x0$ liege Maximum. Oder mit anderen Worten: $gk(t) = f(x0 + tek)$ hat bei $t = 0$ ein Maximum.

0 = g'k(0) = \~/ f (x0).ek = Dkf (x0) f¨ur k = 1, 2, ..., n

Definition:

$x (- S 0$ mit $\~/ f (x ) = o 0$ heißt stationärer Punkt von $f$ .

Aussage von Satz 1:

Ist $f$ in der Menge $S$ differenzierbar, so sind die Punkte, in denen $f$ extremal wird, unter den stationären Punkten zu suchen.

Beispiel:

f(x,y) = x2- y2,S = {(x,y)|x2 + y2 < 1}

Wir bilden den Gradienten:

( 2x ) (0) \~/ f (x) = -2y = 0

Hieraus ergibt sich, daß $(0,0)$ der einzige stationäre Punkt ist. In jeder Umgebung von (0,0) ist $f$ positiv und auch negativ. Bei (0,0) kann folglich weder ein Maximum von ein Minimum liegen.

Definition (Sattelpunkt):

$\~/ f (x0) = 0,S(x0,f (x0))$ heißt Sattelpunkt von $f$ , wenn es in jeder Umgebung von $x0$ Punkte $x1,x2 (- S$ gibt mit $f(x1) < f(x0) < f(x2)$ .

Satz:

$f : S '--> R$ sei stetig differenzierbar, $f (- C2(S)$ . $x0$ sei stationärer Punkt. Dann gelten:

$Hf(x0)$ ist positiv definit $==>$ $f$ hat in $x0$ ein eigentliches lokales Minimum.
$H (x ) f 0$ ist negativ definit $==>$ $f$ hat in $x 0$ ein eigentliches lokales Maximum.
$Hf(x0)$ ist indefinit $==>$ $f$ hat in $x0$ einen Sattelpunkt.
$Hf(x0)$ ist semidefinit $==>$ Es ist keine allgemeine Aussage möglich.

Erinnerung:

$A = AT$ heißt positiv definit: $xTAx > 0$ $A$ $x /= o$
$A = AT$ heißt negativ definit: $xTAx < 0$ $A$ $x$
$T A = A$ heißt indefinit: $T x Ax > 0$ , $T y Ay < 0$

Beweis zu a.):

Hf(x0) > 0 --f- (- -C-2-(-->S) Hf (x) > 0 f¨ur alle x mit ||x- x0|| < e(e > 0) x (_ U

Für $x (_ U$ , $x /= x0$ , $0 < h < 1$ wenden wir den TAYLORsatz an:

f(x)- f(x0) = 1 (x - x0)THf (x0 + h(x - x0))(x- x0) > 0 2 ----- ----- (- U

$f(x0)$ ist minimal.

Beispiel:

f(x,y) = x2 + y4 r = {(x,y)| x2 + y2 < 1}

g(x,y) = x2 + y3

$( ) x0 = 0 0$ ist stationär sowohl für $f$ als auch für $g$ . Die HESSEmatrix $( ) Hf (0,0) = 2 0 0 0$ ist positiv semidefinit.

Da $f > 0$ $A$ $(x,y) /= (0,0)$ , ist $(0,0)$ ist eigentliches Minimum. $g$ hat in (0,0) jedoch einen Sattelpunkt: $3 g(0,y) = y$ .

\~/ f (x) = o

Für $n = 2$ gilt $z = f(x,y)$ und $F (x,y,z) = z- f(x,y) = 0$ . Dies kann man immer als eine Fläche im $3 R$ deuten.

z0 = f(x0,y0)

\~/ f(x0,y0) = o

(D1f (x0,y0)) (0 ) nx ,y ,z = D2f (x0,y0) = 0 0 0 0 1 1

Die HESSEmatrix lautet $Hf (x0) = (DjDkf (x0)) j=1,2,...,n$ ; diese ist symmetrisch. Im Falle $n = 2$ gilt:

( ) x0 x0 = y0

( 2 ) Hf(x0,y0) = D1f(x0,y0) D1D22f (x0,y0) D2D1f (x0,y0) D2f(x0,y0)

Definitheit $(n = 2)$ :

Positive Definitheit: $det(Hf(x0,y0)) > 0 und D21f(x0,y0) > 0$
Semidefinitheit liegt für $det(H ) > 0 f(x0,y0)$ vor.
Negative Definitheit: $2 detHf > 0 und D1f(x0,y0) < 0$
Indefinitheit: $detHf(x0,y0) < 0$

Beispiel:

Es sei $S = R2$ : Wir betrachten die Funktion $f(x,y) = y2(x - 1)+ x2(x+ 1)$ . Gesucht sind lokale Extremwerte dieser Funktion.

(y2 + 3x2 + 2x) \~/ f(x,y) = 2y(x - 1)

Die stationären Punkte bekommt man nun durch Nullsetzen:

$y2 + 3x2 +2x = 0$
$2y(x- 1) = 0$

Aus der zweiten Gleichung ergibt sich $y = 0$ oder $x = 1$ .

Einsetzen von $y = 0$ in erste Gleichung: $2 x(3x +2) = 0 ==> x = 0 oder x = -3$
$P1 = (0,0)$ und $P2 = (-2,0) 3$ sind stationäre Punkte.
Einsetzen von $x = 1$ in erste Gleichung: $2 5+ y = 0$
Diese Gleichung ist in $R$ nicht lösbar. $P1 = (0,0)$ , $( ) P2 = - 23,0$ sind alle stationäre Punkte.

D21f(x,y) = 6x+ 2,D2D1f (x,y) = 2y = D1D2f (x,y),D21f(x,y) = 2(x- 1)

( ) 2 0 Df(0,0) = 0 -2

Hier liegt Indefinitheit vor; bei (0,0) haben wir folglich einen Sattelpunkt.

2 2 3 f(0,y) = -y ,f(x,y) = x + x > 0 mit - 1 < x < 0 und x > 0

( ) ( ) Hf - 2,0 = - 2 010 3 0 --3

Hier liegt wegen negativer Definitheit ein lokales Maximum vor.

2 2 2 2 z = x + y , S = {(x,y)|x + y < 1}

Als Übung kann überprüft werden, ob Randmaxima oder -minima vorliegen.

3.7.1 Extremwerte von Funktionen, die auf abgeschlossenen und beschränkten Bereichen definiert sind

Definition:

$B (_ Rn$ sei Menge. $x (- Rn 0$ heißt Randpunkt von $B$ , falls für jedes $e > 0{x|||x- x || < e}/ ~\ B /= f 0$ und ${x|||x- x || < e} /~\ (Rn \B) /= f. 0$ $@B = {x (- Rn,x$ ist Randpunkt von $B}$ . $B$ heißt abgeschlossen, falls $@B < B$ . B heißt beschränkt, falls es ein $k > 0$ gibt mit $||x||< k A x (- B$ .

In HM I hatten wir: Falls $f : [a,b] '--> R$ stetig ist, besitzt es gleichzeitig ein Maximum und Minimum.

Satz:

$B (_ Rn$ sei beschränkte, abgeschlossene Menge und $f : B '--> R$ sei stetig. Es gibt $x0,x1 (- B$ mit $max{f (x),x (- B}= f(x0) < f(x) < f(x1) A x (- B = max{f (x),x (- B}.$

$f$ ist beschränkt (Widerspruch)
${f(x)| x (- B}$ besitzt Supremum $a$ $f(x) < a A x (- B$ .
$a = max{...}$

Betrachten wir das Problem für $n = 2$ : Gesucht sind Extremwerte von $f : B '--> R$

Bestimme stationäre Stellen in $B \@B$ . Untersuche wie im vorhergehenden Abschnitt.
Untersuche an Stellen, wo $f$ nicht differenzierbar ist $(f (x,y) = |x +y|)$
Untersuche $f$ auf $@B$ (Parameterdarstellung des Randes suchen und in Funktion einsetzen)

Beispiel:

f(x,y) = x2 +2y2

2 2 B = {(x,y)| x + y < 1}

@B = {(x,y)| x2 + y2 = 1}

$( ) x2 + y2 < 1 \~/ f(x,y) = 2x = o 4y$
$(0,0)$ ist somit der einzige stationäre Punkt; es handelt sich um ein isoliertes globales Minimum (siehe HESSEmatrix).
auf untersuchen $2 f@B = 1+ sin t = g(t)$
Wegen der Symmetrie von $f$ und $B$ genügt es, $@B$ für $x > 0$ , $y > 0$ zu untersuchen.
$V~ ------ @B : y = 1- x2 f¨ur 0 < x < 1$

$f = g(x) = x2 + 2(1- x2) = 2- x2 fu¨r 0 < x < 1 @B$
- $g(0) = 2 = max x>0,y>0$ : $P1 = (0,1)$ , $P2 = (0,-1)$ sind mögliche Maximumpunkte für $f@B$ .
- $g(1) = 1 = xm>a0,xy>0$ : $P3 = (1,0)$ , $P4 = (-1,0)$ sind mögliche Minimumpunkte für $f@B$ .

Frage: Wird $f @B$ in $P 1$ lokal maximal? Wir untersuchen $(x,y) (- B$ nahe $(0,1)$ :

( ) 0 f(x,y) = f(0,1)+(x,y- 1) \~/ f(0)+r = 2+(x,y-1) 4 +r = 2+4(y- 1)+r < 2 = f(0,1)

Hier liegt somit ein lokales Maximum vor.

( ) D1f n = D2f - 1

Daraus ergibt sich, daß $\~/ f$ nach außen gerichtet sein muß. $P3(1,0)$ : Wir schneiden die Fläche mit der $x$ - $z$ -Fläche. Falls es sich um ein Minimum handelt, so muß $\~/ f (1,0)$ ins Innere von $B$ gerichtet sein. $( ) \~/ f (1,0) = 2 0$ geht nach außen; es liegt daher kein Minimum für $f$ vor.

(2) f(x,y) = f(1,0)+(x -1,y) 0 +r f¨ur ||x-1,y|| klein, (x,y) (- B = 1+2(x-1)+r < 1

Es liegt daher kein Minimum vor.

Satz:

$2 B (_ R$ sei beschränkt und abgeschlossen. $f : B '--> R$ sei 2 mal stetig differenzierbar.

Die glatte Kurve $( ) r(t) = x(t) y(t)$ , $t0 < t < t1$ stelle ein Stück des Randes $@B$ dar.

$f(t) = f(r(t))$ besitze für $t (- (t0,t1)$ einen Extremwert. Es sei $z0 = f(x0,y0),x0 = x(t),y0 = y(t)$ . Es gelten noch $\~/ f (x0,y0) /= o$ . Dann hat man:

Ist $z0$ ein lokales Maximum bzw. Minimum von $f$ und weist $\~/ f(x0,y0)$ ins Innere bzw Äußere von $B$ , so ist $z0$ ein lokales Maximum bzw. Minimum von $f$ .