3.3 Differenzieren von Funktionen mit mehreren Vernderlichen

3.3 Differenzieren von Funktionen mit mehreren Veränderlichen

3.3.1 Richtungsableitung/Partielle Ableitung

Wir betrachten fortan folgende Funktionen:

f : D (- Rn '--> Rm

Eine solche Funktion nennt man für $m > 1$ Vektorfeld, für $m = 1$ handelt es sich um ein sogenanntes Skalarfeld. Kraftfelder und elektrische Felder sind beispielsweise Vektorfelder. Temperaturfelder sind Skalarfelder.

Zuerst führen wir eine Vorbetrachtung zur Motivation durch:

n = 2,n = 1 :

( ) z = g(x,y),x0 = x0 y0

x(t) = x1 + tv,t (- R

( x + tv ) r(t) = g(x0+ tv) 0

Gegeben ist $(x0) 2 x0 = y0 (- R$ (in Definitionsbereich von $g = g(x,y))$ und eine Richtung $v /= o$ im $R2$

( ) x0 + tv1 r(t) = y0 + tv2 f¨ur t (- R beschreibt die Kurve auf der Fl¨ache z = g(x,y). g(x0 + tv1,y0 +tv2)

Definition:

$g : D (- Rn '--> R$ sei Skalarfeld, $x0 (- D$ und $v /= o$ im $Rn$ seinen gegeben:

$f(h) = g(x0 + h(v),h (- R$

$f : R '--> R$

Dann ist $f'(0) = lim 1-(f(h)- f(0)) h'-->0h$ die Richtungsableitung von $f$ in $x 0$ in Richtung $v$ .

$f'(0) = lim 1(f(h)- f(0)) = lim 1(g(x0 + hv)- g(x0)) =: (Dvg)(x0) h'-->0 h h'-->0 h$

Mit vorherigem Beispiel:

' 1 1 ( x0 + hv- x0 ) ( v ) r (0) = lhim'-->0 h (r(h)- r(0)) = hli'-->m0 h g(x0 + hv)- g(x0) = (Dvg)(x0)

Ist $(Dvg)(x0) > 0$ , so wächst $g(x)$ bei $x0$ in Richtung $v$ . Wenn $(Dvg(0) < 0$ ist, so fällt $g(x)$ bei $x0$ in Richtung $v$ .

Definition:

$f : D (_ Rn '--> Rm$ sei Vektorfeld.

$( f1) .. f = . fn$ , $x0 (- D$ und $v /= o$ im $n R$ seien gegeben. So kann man die Richtungsableitung komponentenweise definieren:

$( ) (Dvf1)(x0) ( ) (Dvf2)(x0) Dvf (x0) = ... (Dvfn)(x0)$

Beispiel:

g : Rn '--> R,g(x) = ||x||2 = xTx

1( ) 1( ) (Dvg)(x) = lim --||x +hv ||2 - ||x||2 = lim --||x||2 + h2||v||2 + 2hvTx - ||x||2 = 2vTx = h(x) h'-->0 h h'-->0 h

2 T T 2 (Dvh)(x) = D vg)(x) = lih'-->m0 (2v (x + hv- 2v x) = 2|| v||

(D3vg)(x) = 0

Beispiel:

$A (- R(m,n)$ sei konstant.

f(x) = Ax f : Rn '--> Rm

(Dvf)(x) = lim 1(A(x + hv)- Ax) = Ax +hAv - Ax = Av (D2f )(x) = o h'-->0 h

Zu 1.):

(D2vg)(x) = Dv( 2vTx) = 2vTv = 2||v||2 (1,n)

Definition (partielle Ableitung):

$f$ : $D (- Rn '--> Rm$ . $(De f)(x) j$ heißt partielle Ableitung von $f$ bezüglich $xj$ der $j$ -ten Variablen.

$@ (Djf)(x) := (Dej)f (x) @xjf ,fxj$

Wir berechnen:

( ) (Djf)(x1,x2,...,xn) = lim f(x + hej)- f(x) = h'-->0 = lim 1(f(x1,x2,...,xj-1xj + h(x1,x2,...,xn)- f(x1,...,xn)) h'-->0 h

(3.1)

Es werden die Variablen $x1$ , $...$ , $xj- 1$ , $xj$ , $...$ , $xn$ festgehalten; die übrigbleibende Funktion von $xj$ wird wie in HM I differenziert.

2 3 f (x,y,z) = x y + zln x

2 2 D2f (x,y,z) = x 3y

Die partiellen Ableitungen $3 D1f$ , $D1D2f$ , $...$ können als Übung berechnet werden.

3.3.2 Vektoranalysis

Beispiel:

-xy2--- 2 { x2 + y4 f¨ur (x,y) /= (0,0) f : R '--> R = 0 f¨ur (x,y) = (0,0)

$f$ ist nicht stetig in (0,0).

( ) v1 v = v2 /= o

( ) ( ) 1- 1- --hv21h2v22- (Dvf)(0,0) = lihm'-->0h f(0+ hv1,0+ hv2)- f(0,0) = hli'-->m0 h v21h2 +v42h4 = hli'-->m0 = 0 ( ) 0 f¨ur v1 = 0 --v1v22-- { = v21 +v42h2 = v22 v1 f¨ur v1 /= 0

(3.2)

$f$ ist im Punkt $(0,0)$ in jeder Richtung $v /= o$ differenzierbar, also auch partiell differenzierbar.
Es gilt $( ) v = 1 1$ an der Stelle $(1,2)$ .

Aus der Existenz der Richtungsableitungen an einer Stelle für jede Richtung darf nicht auf Stetigkeit geschlossen werden.

f(x,y,z) = exyln z + x2 + y2z

$y$ , $z$ bleiben konstant, differenziere nach $x$ wie gelernt: $fx = D1f(x,y,z)$

fx = D1f (x,y,z) = yexylnz + 2x

Außerdem gilt hier: $D2D1f (x,y,z) = D1D2f (x,y,z)$ , was in folgendem Satz verallgemeinert wird.

Schwarzscher Satz:

Die Funktion $f$ besitze in einer Umgebung von $x0$ die partiellen Ableitungen $Djf,Dkf,DjDkf$ . Es sei $DjDkf$ in $x0$ stetig. Dann existiert auch $DkDjf (x0)$ und es gilt:

$(DjDkf )(x0) = (DkDjf )(x0)$

Definition:

$D (_ Rn$ heißt offene Menge, falls es für jeden Punkt $x (- D 0$ ein $e > 0$ gibt derart, daß ${x (- Rn| x = x + hv,|h|< e}< D 0$ gilt.

$||x - x|| = ||hv||< e||v|| 0$

Bezeichnungen:

$f$ : $D (_ Rn '--> Rm$ , $( f1) f2 f = .. . fn$

$f$ heißt in $D$ partiell differenzierbar, falls alle partiellen Ableitungen $Dkfj(x)(k = 1,...,n;j = 1,...,n)$ existieren für alle $x (- D$ . Die $(m, n)$ -Matrix $(Dkfj(x))j=1,...,n k=1,...,n$ heißt Funktionalmatrix (Jacobimatrix) von $f$ in $x$ :