4.3 Kurven-/Linienintegrale

$G (_ Rn$ sei ein Gebiet. $g < G$ ist Trajektorie der Kurve: $r : I '--> G, r = r(t)$ : $C1(I),r'(t) /= o$ . $f : G '--> R$ sei stetiges Skalarfeld.

$integral integral b f ds := f(r(t))|||r'(t)|| dt g t=a$ heißt Linienintegral von $f$ längs (über) $g$ . Für $f$ =1 ist dies gerade die Länge der Kurve $r$ : $integral ds = ||r'(t)|| dt$

Bemerkungen:

Die Definition ist unabhängig von der speziellen Darstellung von $g$ . $g : r = r(t),a < t < b$

$r = r(t),a < t < b = r(gt))$
$t = g(t)$ ist eine Parametertransformation mit $g$ : $[a,b] '--> [a,b]$ und $g'(t) /= 0$ .

Ziel:
$integral b integral b integral f(r(t))|| r'(t)dt=! f(r(t))||r'(t)||dt = f ds a a g$

$b integral b ' integral ' ' ' f(r(t))||r(t)||dt = f(r(t))||r-(g(t))||g(t)dt wobei g(t) > 0 a a ||r'(t)||$

$||r'(t)||= ||r'(g(t))g'(t)|| = ||r'(g(t))|||g'(t)|= ||r'(g(t))|| g'(t )$
Die Definition ist richtungsinvariant. $g : r = r(t) f¨ur a < t < b$

$g- : r = r(t) = r(a+ b - t) f¨ur a < t < b$

$|||| integral integral |||| || f ds = f ds|| g g-$
Das Gesamtintegral über eine Kurve setzt sich additiv aus den Integralen über einzelne Kurvenabschnitte zusammen. $integral integral integral ds = f ds + f ds + ... g g1 g2$
Wenn $g$ eine geschlossene Kurve ist, kann man ein sogenanntes Ringintegral definieren: $integral gf f ds = f ds g$
$g$ sei JORDANkurve, das heißt $r = r(t)$ ist injektiv (besitzt keine Doppelpunkte).

4.3.1 Linienintegrale eines Vektorfeldes $v$ über eine Kurve $g$

$v : G (_ Rn '--> Rn,v$ sei stetig, $g < G$ sei stückweise glatt. $r = r(t),a < t < b$ $(r = r(t),a < t < b)$ .

$integral integral b ' v ds := v(r(t)).r(t)dt heißt Linienintegral von v¨ uber g. g a$

Andere Bezeichnungen:

integral integral integral v1dx1 + v2 dx2 + ...+ vn dxn = v.dx = v.dr g g g

Bezeichnungen:

$T (t) = r'(t)- ||r'(t)||$ sei Vektor der Länge Eins in Richtung $g$ . Wir können den Integralbegriff somit erweitern, indem wir nun für das Integral über ein Skalarfeld schreiben können: