4.5 Potentialfelder (Gradientenfeld, konservatives Feld)

$v : G (_ Rn '--> Rn$ heißt Potentialfeld, falls es ein Skalarfeld $f : G '--> R$ gibt derart, daß $v(x) = \~/ f (x),x (- G$ gibt. Für $g : r = r(t),a < t < b$ hat man:

$integral \~/ f .ds = f(r(b))- f(r(a)) g$

$f$ heißt Potential zu $v$ (Stammfunktion).

Erinnerung: $( ) integral b h'(t)dt = h(b)- h(a) a$

Satz:

Ist $v : G (_ Rn '--> Rn$ ein stetig differenzierbares Potentialfeld, so gilt:

$J (x) = J T(x),x (- G v v$

Beweis:

[ ] Jv(x) = D1v(x),D2v(x),...,Dnv(x) = (Djvk(x)) kij

Unser Ziel ist zu zeigen, daß $D v (x) = D v (x) jk k j$ gilt. Bekannt ist $v (x)D f(x) k k$ für $l = 1$ , 2, $...$ , $n$ .

D v (x) = D D f(x) = D D f(x) = D v(x) j k j k k j kj

n = 3 : D1v2 = D2v1,D1v3 = D3v1,D2v3 = D3v2 <==> \~/ × v(x) = o

Satz:

$G (_ Rn$ sei ein Gebiet. $r0,r1 (- G$ : Es sei $v$ ein stetiges Potentialfeld mit einem Potential $f$ . Dann gilt für jedes $r0$ mit $r1$ verbindende in $G$ verlaufende stückweise glatte Kurve $g : r = r(t),0 < t < b$ $(r(a) = r0,r(b) = r1$ ):

$integral v ds = f(r1)- f(r0) g$

Satz:

Es sei $v : G (_ Rn '--> Rn$ ein stetiges Vektorfeld. Dann sind äquivalent:

$v$ ist ein Potentialfeld.
Für je zwei Punkte $r0,r1$ in $G$ ist $integral v.ds g$ unabhängig von der $r0$ mit $r1$ verbindenden Kurve $g$ .
Für jede geschlossene Kurve $g < G$ gilt: $gf v.ds = 0 g$

Beweis:

Aus dem ersten Punkt folgt durch den zweiten Satz der zweite Punkt. Um (3) zu beweisen gehen wir folgendermaßen vor: Das Ziel ist $gf vds = 0 g$ , wobei $g = g1 + g-2$ . Wir haben folgende Voraussetzung:

integral integral v.ds = vds g1 g2

gf gf integral gf gf v.ds = v.ds + v.ds = v.ds - v.ds = 0 g g1 g-2 g1 g2

Nun zeigen wir noch die Umkehrung von (3) nach (2). Unser Ziel ist:

gf gf v.ds = v .ds g1 g2

Bilde $g = g1 + g-2$ und argumentiere wie vorher. $(2) '--> (1)$ beweisen wir dadurch, indem wir zeigen, daß $v$ ein Potentialfeld ist. $x0 (- G$ sei beliebig, aber fest:

integral x f(x) = g v.ds,x (- G x0

Wir machen die Probe: $Djf(x) = vj(x)$ , wobei $x (- G$ .

x+ integral hej integral x x+ integral hej f(x + hej)- f (x) = v .ds- v .ds = v.ds x0 x0 x

$r(t) = x + tej,a < t < h$ sei eine gerade Verbindung zwischen $x$ und $x+ hej$ mit $r'(t) = ej$ . Somit folgt nun (mit dem Mittelwertsatz der Integralrechnung):

x+ integral hej integral h integral h v.ds = v(x+hej).ejdt = vj.(x+tej)dt = hvj(x+tej),t (- (0,h). x 0 0 MW SIR

lim 1-(f(x + he) -f (x) = v(x + te )-h-'-->-0--> v (x) = D f(x) h'-->0 h j j j j j

Definition:

Das Gebiet $G (_ Rn$ heißt einfach zusammenhängend, wenn sich jede geschlossene doppelpunktfreie Kurve stetig in $G$ auf einem Punkt zusammenziehen läßt.

Satz:

Es sei $G$ ein einfach zusammenhängendes Gebiet und $v : G '--> Rn$ ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf $G$ . Dann gilt: $v$ ist Potentialfeld $<==> J (x) = J (x),x (- G v v$ . Im Fall $n = 3$ bedeutet das: $\~/ × v(x) = o$ .