5.4 Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung

Wir betrachten die Differentialgleichung L_y(x) = y'' + p(x)y' + q(x)y = f(x) mit x I und gegebenem p, q und f. Diese Funktionen seien außerdem stetig und beschränkt.

Problem:

Es seien x₀ I und , . Gesucht wird y C²(I) mit L_y(x) = f(x) und x I Außerdem sei y(x₀) = und y'(x₀) = . Das Problem (P) wird mit A(f;,) bezeichnet. y A(f;,) soll bedeuten: y löst A(f;,).

Satz 1:

Folgerung:

Es sei y A(0;0,0). Dann gilt:

Ly(x) = 0 { y(x ) = 0 } y'(x0) = 0 <==> y = 0 0

Satz 2 (Linearität/Superposititon):

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|Aus y1 (- A(f1;a1,b1) und y2 (- A(f2;a2,b2) und C1 = const., C2 = const. folgt:
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|Cy1 + C2y2 (- A(C1f1 + C2f2;C1a1 + C2a2,C1b1 + C2b2) |
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Wir bezeichnen die Menge aller Lösungen als:

L = {y|Ly = f auf I}

Diese Menge nennt man die „allgemeine Lösung“. Die „allgemeine Lösung der homogenen Gleichung“ lautet:

LH = {y|Ly = 0 auf I}

Satz 3:

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|Es sei yp (- L gegeben. Dann gilt L = yo + LH, d.h. genau:
| 1.) Jede Funktion der Form y +y mit y (- L liegt in L.
| p 0 0 H |
| 2.) Hat man y (- L, so gibt es ein y0 (- LH mit y = yp + y0.
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Begründung:

L(y_p + y₀) = Ly_p + Ly₀ = f + 0 = f
L(y - y_p) = Ly - Ly_p = f - f = 0
Dies bedeutet, daß y -y_p = y₀ eine Lösung der homogenen Gleichung ist.

5.4.1 Beschreibung der Lösung

Nun wollen wir die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung L_H charakterisieren. Mit Satz 1 ergibt sich:

y_h₁ A(0,1,0) existiert: $yh1 /= 0$

$yh(x0) = 1 1$

$' yh1(x0) = 0$
y_h₂ A(0,0,1) existiert: $yh2 /= 0$

$yh2 = 0$

$y' = 1 h2$

Kleiner Satz:

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|y1, y2 seien auf I linear unabh¨angig, d.h. es ist zu zeigen: |
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|Aus C1yh1(x) +C2yh2(x) = 0 mu ßfolgenden C1 = C2 = 0. |
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Beweis:

C1yh1(x0)+ C2yh2(x0) = 0 = C1

Wir differenzieren:

C1y'h1(x0)+ C2y'h2(x0) = 0 = - C2

Damit ist die Aussage gezeigt.

Satz 4:

Beweis:

C₁y_j₁ + C₂y_h₂ = L_H C₁, C₂ $L (C1yh1 + C2yh2) = C1Lyh1 + C2Lyh2 = 0$
y L_H. Zu zeigen ist: $~ ~ ~ ~ y = C1yh1 + C2yh2 mit passenden C1,C2$

$~C1 = y(x0), ~C2 = y'(x0)$

$y = y(x )y + y'(x )y ==> w(x) = y(x)- y(x )y (x)- y'(x )y (x) != 0 A x 0 h1 0 h2 0 h1 0 h2$

$w (- LH; w(x0) = 0,w'(x0) = 0$

$w (- A(0,0,0) ==> w(x) = 0 A x (Folgerung aus Satz 1)$
Alle Lösungen der homogenen Gleichung hat man, wenn man zwei linear unabhängige Lösungen hat, davon sind alle Linearkombinationen zu bilden; y_h₁ und y_h₂ leisten dies beispielsweise.