2.4 Konforme Abbildungen: Mbiustransformationen

2.4 Konforme Abbildungen: Möbiustransformationen

Folgende Begriffe wollen wir behandeln:

= {}
Der Punkt „“
Inversion
Verallgemeinerte Kreise

f(z) = 1 z

\{0} \{0} sei schlicht.

{z|0 < |z|< 1}'--> {w|1 < w < oo }

{z|1 < |z|< oo }'--> {w|0 < |w|< oo }

{z||z|= 1}'--> {w||w |= 1}

Definition:

|----------------------------------------------------------------------------------------|
| ( ) ( ) |
| 1 -1 1 |
|Es sei f(0) := oo = 0 , f( oo ) (= 0), = oo . Hiermit wird f(z) = z definiert A z (- C U { oo }. f(z) hat
| 1 |
|in oo die Eigenschaft E, falls f z diese Eigenschaft f¨ur z = 0 hat. |
-----------------------------------------------------------------------------------------

Beispiel:

Ist f(z) = sin in z = differenzierbar? Betrachte g(z) = sinz in z = 0. Dort ist sin(z) differenzierbar.

Beispiel:

Die reelle und die imaginäre Achse schneiden sich in Unendlichen unter dem Winkel .

Reelle Achse Reelle Achse
Imaginäre Achse Imaginäre Achse

Beispiel:

Wir wollen zeigen, daß f(z) = : holomorph ist.

z = 0 : f(0) = oo ; h(z) =-1-= z ==> h'(z) = 1,h'(0) = 1 f(z)

(1 ) z = oo : f( oo ) = 0;g(z) = f z = z ==> g'(z) = 1,g'(0) = 1

Also ist die Funktion holomorph.

Satz:

|----------------------------------------------------------------------------------------|
| 1 |
|f(z) =- bildet Kreise oder Geraden auf Kreise oder Geraden ab. |
| z |
-----------------------------------------------------------------------------------------

Beweis:

Ersetze in der allgemeinen Kreis-Geraden-Gleichung |z|² + z + z + = 0 die Variable z durch . Man erhält somit durch Multiplikation mit |z|²:

2 - -- g| z| + bz +bz + a = 0

Es handelt sich dabei also wieder um eine Gerade oder einen Kreis. Wir betrachten nun:

sum 2 2 2 = {(q,j,z)| q + j + z = 1}

sum bijektiv q j (q,j,z) (- --- ----> z + 1--z-+ i1--z-(q,j,z) /= (0,0,1)

Folgende Abbildung nennt man Stereographische Projektion:

sum ^C '-->

( ) z-+-z-- -z--z--|z| 2---1 z '--> 1+ |z|3,-i1+ |z| 3,|z| 3 + 1 (*)

Problem:

Es sei die Abbildung z gegeben. Was bedeutet diese auf der Kugel? Dazu ersetze man in (*) z durch . Man erhält:

(q,j,z) '--> (q,- j,- z)

Wir schreiben dies in einer Verkettung von Abbildungen:

(q,j,z) '--> (q,-j,z) '--> (q,- j,-z)

Bei der ersten Abbildung handelt es sich um eine Spiegelung an der (,)-Ebene. Die zweite Abbildung ist eine Spiegelung an der (,)-Ebene. Auf der Kugel gehen somit durch die Abbildung z Kreise über in Kreise. Nun gilt:

Stereographische Projektion {Kreise, Geraden aus ^C}---------- ----------> {Kreise auf der Kugel}

Beweis:

Die Gleichung eines verallgemeinerten Kreises lautet:

a| z|2 + bz + bz + g = 0

b = b1 + ib2

Somit folgt:

-- a|z| 2 + bz + bz +g = 0 '--> 2b1q- 2b2j+ (a - g)z = - a- g

Es handelt sich hier um eine Ebenengleichung. Schnitt mit ² + ² + ² = 1 ergibt einen Kreis. Der Kreis geht durch N, falls:

a - g = - a- g <==> a = 0

Kreis geht nicht durch N 0] Kreis in

Ergebnisse:

|----------------------------------------------------------------------------------------|
|Kreise und Geraden in ^C werden auf der Kugel zu Kreisen. Kreise inC^werden auf der Kugel Kreise, die
|nicht durch N gehen. Geraden in ^C werden auf der Kugel Kreise durch N . |
| oo liegt auf jeder Geraden und auf keinen Kreis inC^. |
| |
-----------------------------------------------------------------------------------------

Satz 1:

-----------------------------------------------------------------------------------------
| |
|Es sei a /= 0, a (- C. Die Abbildungen von ^C '--> ^C: z '--> z +a (Translation) und z '--> az (Drehstreckung)|
|bilden Kreise in Kreise und Geraden in Geraden ab. |
| |
-----------------------------------------------------------------------------------------

Beweis (für Drehstreckung):

Siehe: az = |a||z|eifeiarg(z)

Satz 2:

|----------------------------------------------------------------------------------------|
| |
|Es sei f(z) = 1. Diese Abbildung bildet verallgemeinerte Kreise in verallgemeinerte Kreise ab, d.h.
|genau: z |
| |
| • Kreis durch 0 geht-¨uber in Gerade nicht durch 0. |
| |
| • Kreis nicht durch 0 geht¨ uber in Kreis nicht durch 0. |
| • Gerade durch 0 geht¨ uber in Gerade durch 0. |
| -------- |
| • Gerade nicht durch 0 geht¨ uber in Kreis durch 0. |
-----------------------------------------------------------------------------------------|

\text{[math]}

Wir gehen nun über zu konformen Abbildungen.

Definition:

|----------------------------------------------------------------------------------------|
| |
|Es sei f : G (_ ^C '--> ^C. f heißt in z0 (- G konform, falls f in z0 holomorph und f'(z0) /= 0 gilt (in G
|konform, falls f'(z) /= 0 A z (- G). |
| |
-----------------------------------------------------------------------------------------

Bemerkungen:

Eine in G schlichte Funktion ist in G konform.
Eine in G konforme Funktion ist lokal schlicht.

Schlichtheit ist somit der Konformität übergeordnet. Was bedeutet aber Konformität geometrisch?
Gegeben sei w = f(z), z G mit f'(z₀)0.

z(t) = x(t)+ iy(t),a < t < b

z(t0) = z0

(t) = (t) + i(t) ist die Tangentenkurve.

z˙(t) /= 0

Eine Kurve mit dieser Eigenschaft hatten wir in HMII als regulär bzw. glatt bezeichnet. Diese Kurve soll nun abgebildet werden wobei wir erhalten:

w(t) = f(z(t)),a < t < b

Mittels der Kettenregel folgt:

' ˙w(t) = f (z(t))z˙(t)

˙w(t) = f'(z(t))˙z(t ) 0 0 0

Für das Argument folgt:

arg(w˙(t)) = arg(f '(z ))+ arg(˙z(t)) 0 0

arg((t₀)) gibt die Richtung von in z₀ an; arg((t₀)) die Richtung des Bildes von in z₀.

s = arg(˙z1(t0))- arg(z˙2(t0)) = arg( ˙w1(t0))-arg(f'(z0))- (arg(w˙2(t0))- arg(f'(z0))) = arg(w˙1(t0))-arg( ˙w2(t0))

Daraus folgt, daß der Winkel erhalten bleibt. Dies formulieren wir in einem Satz:

Satz 3:

|----------------------------------------------------------------------------------------|
|Ist f in z0 konform, so bleibt der Winkel zwischen Kurven in z0 der Gr¨oße und dem Drehsinn auch|
|erhalten. |
| |
-----------------------------------------------------------------------------------------

Satz 4:

\text{[math]}

Nun folgt der zentrale Satz in diesem Kapitel, nämlich der Riemannsche Abbildungssatz:

Satz 5:

|----------------------------------------------------------------------------------------|
| |
|G, G*seien einfach zusammenha¨ngende (ohne L¨ocher) Gebiete, die mindestens zwei Randpunkte haben.
|Dann gibt es eine schlichte Funktion f mit f(G) = G*. |
-----------------------------------------------------------------------------------------

\text{[math]}

Eine Abbildung, die verallgemeinerte Kreise in verallgemeinerte Kreise abbildet, heißt kreistreu.

Beispiele für kreistreue Abbildungen:

zz + a
zaz
z

Satz 5 (Riemannscher Abbildungssatz):

|----------------------------------------------------------------------------------------|
|G, G*seien einfach zusammenha¨ngende Gebiete mit jeweils mindestens zwei Raumpunkten. Dann gibt
|es eine schlichte Abbildung f von G auf G*. |
| |
-----------------------------------------------------------------------------------------

Satz 6:

|----------------------------------------------------------------------------------------|
| * |
|G, G seinen zwei Gebiete, deren R¨ander Jordankurven sind, die sic*h nur aus endlich vielen Geraden
|oder Kreisst¨ucken zusammensetzen. w = f (z) bilde G schlicht auf G ab. Dann gelten: |
| 1.) f ist auf G U @G stetig. |
| |
| 2.) f(@G) = @G*(Rand '--> Rand). Diese Zuordnung @G '--> @G*ist injektiv und orientierungstreu. |
-----------------------------------------------------------------------------------------|

\text{[math]}

„Liegt links vom orientieren Rand G, so liegt f() links vom orientierten Rand G^* “.

Beispiel:

2.4.1 Möbiustransformationen (gebrochen lineare Funktionen)

Definition:

|----------------------------------------------------------------------------------------|
|Es seinen vier Zahlen a, b, c, d (- C gegeben, f¨ur die gilt ad -bc /= 0. Dann nennen wir die Abbildung
| az + b |
|T(z) = cz-+-d eine Mo¨biustransformation. M sei die Menge der Mo¨biustransformationen. |
-----------------------------------------------------------------------------------------

\text{[math]}

Wir differenzieren T(z):

' ad---bc- T (z) = (cz +d)2 /= 0

Durch die Voraussetzung ad - bc0 wird somit ausgeschlossen, daß die Funktion konstant ist.

Definition:

$|----------------------------------------------------------------------------------------| | | |T (- M : T : ^C '--> C^ | | | | az +-b d | | cz + d f¨ur z /= oo , z /= - c | | | | { oo f¨ur z = - d | |T(z) = c | | a | | c- f¨ur z = oo | | | -----------------------------------------------------------------------------------------$

1 (bc- ad ) c /= 0 : T(z) = ------ + a = T3 o T2 o T1(z) mit: c cz + d

T₁(z) = cz + d
T₂(z) =
T₃(z) = z +

T M ist somit kreistreu. Außerdem bildet (M,o) eine Gruppe:

S, T M S o T M
id M : T o id = id o T = T T M $1z + 0 id(z) =------ 0z + 1$
S, T, U M: (T o S) o U = T o (S o U)
T M T^-1 M: T o T^-1 = T^-1 o T = id

az +-b -1 -dz-+-b T (z) = cz + d ==> T (z) = cz- a

Satz 7:

Beweis der Holomorphie:

c /= 0 :

In z = :
Betrachte g(t) = T für z = 0: $bc - ad g'(0) = --c2--$
In z = - $1 d h(z) = T-(z) f¨ur z = -c$

$( ) 2 h' - d = --c--- c bc -ad$

Satz 8:

|----------------------------------------------------------------------------------------|
| |
| az-+b- d |
|Mo¨biustransformationen sind kreistreu, d.h. genau f¨ur T(z) = cz + d . Eine Gerade durch - c geht ¨uber
|in eine Gerade durch a. Eine Gerade nicht durch- d geht¨ uber in einen Kreis durch a. Ein Kreis durch
| c c c |
|-d wird abgebildet in eine Gerade nicht durch a. Aus einem Kreis nicht durch- d wird ein Kreis, der
| c a c c |
|nicht durch c-geht. |
-----------------------------------------------------------------------------------------

Satz 9:

Satz 10:

|----------------------------------------------------------------------------------------|
| ^ |
|z1, z2, z3 und w1, w2, w3 seien Tripel paarweise verschiedener komplexer Zahlen aus C. Dann gibt es
|genau eine Mo¨biustransformation T mit T(zj) = wj mit j = 1, 2, 3. |
-----------------------------------------------------------------------------------------

Beweis:

T (z) = z---z1z2--z3 1 z - z3z2- z1

w -w1 w2 - w3 T2(w) = w--w--w----w- 3 2 1

T1,T2 (- M : T1(z1) = 0,T1(z2) = 1,T1(z3) = oo

|------------| |T = T-2 1o T1| -------------

T(zj) = T- 1(T1(zj)) = T-1(1) = w2,j = 2 2 2

Es gibt nur diese Möbiustransformation: Angenommen, es gäbe S M mit S(z_j) = w_j. Dann müssen wir beweisen, daß S = T gilt.

S(zj) = T(zj),j = 1,2,3

S -1 o T(zj) = z : j,j = 1,2,3 --- (- M---

Es handelt sich somit um eine Möbiustransformation, welche 3 Fixpunkte hat. Also muß es die Identität sein.

S -1 o T = id ==> T = S

w = T(z) = T-2 1(T1(z))

==> T2(w) = T1(z) (implizite Darstellung f¨ur w = T(z))

z--z1z2---z3 z- z3z2 - z1

Folgerung:

Eine Möbiustransformation T mit T() = genügt der Bedingung:

T (z) = T(z) A z (- ^C

Spiegelung am Kreis:

r2 |z- a|= r : z '--> z--a-+ a

Gesucht sei eine Abbildung T : {Im(z) > 0}{w||w| < 1}. Die Funktion soll eine Möbiustransformation sein: $T = az +-b cz + d$
Unsere Forderung ist also:
- 0- 1
- 1- i
- 1
Die dritte Bedingung ergibt a = c. Daraus folgt:
$z + ~b T(z) =----~ z + d$
Mit der ersten Bedingung ergibt sich = :
$T(z) = z--~b- z + ~b$
Jetzt ist nur noch die zweite Bedingung zu erfüllen:
$1 -~b T(1) = 1-+~b = - i$

$z- i T(z) = ----: {z|Im(z) > 0}'--> {w||w |< 1} z + i$

$z- i T (z) = r----+ a : {z| Im(z) > 0}'--> {w ||w - a|< r} z + i$
Die Umkehrabbildung lautet:
$-1 w - a+ r T (w) = i--w-+-a+-r$
Wir suchen eine Abbildung, welche folgende Gerade auf die reelle Achse abbildet: $z(t) = a+ teif,t (- ^R,tan f = Steigung$

$-if ^ T(z) = e (z- a) : T (g) = R$

Ergebnis:

w = T_k(z) = i:{z||z-a| < r}{w|Im(w) > 0}, K : |z-a| = r $TK(K) = ^R,T -1(z) = rz--i+ a K z + i$
w = T_g(z) = e^-i(z - a):{z|z = a + eⁱ, t }

Definition (Spiegelung an K oder g/E):

|----------------------------------------------------------------------------------------|
| |
|Es sei T (- M mit T(E) = ^R. F¨ur z (- ^C wird mit rE(z) der Spiegelpunkt an E bezeichnet: |
| |
|rE(z) =T -1(T(z)), z (- ^C, wobei T (- M mit T(E) = R^ist. |
| |
-----------------------------------------------------------------------------------------

\text{[math]}

Um konkrete Formeln für Spiegelungen zu erhalten, setzen wir T = T_K in die Definition ein, wobei man nun für die Spiegelung an einem Kreis erhält:

r2 rk(z) == -----+ a,z (- ^C z - a

Für die Spiegelung an einer Geraden ergibt sich:

rg(z) = e2if(z - a)+ a,z (- ^C

„Vernünftige“ Spiegelungen erfüllen folgende Bedingungen:

_E = _E^-1, _E o _E = id
_E(z) = z, z E

Wir überprüfen die erste Bedingung durch Einsetzen:

----------------- r (r (z)) = T- 1(T-(r-(z))) = T -1(T (T -1(T-(z))))= z E E E

Geometrie:

--r2-- rk(z) = z - a + a

2 |rk(z)- a|= ---r--2|z- a| (z- a)

_k(z), z und a liegen auf demselben Halbstrahl, der von a ausgeht.

|r (z)- a||z- a|= r2 k

Satz 11 (Symmetrieprinzip für Möbiustransformationen):

-----------------------------------------------------------------------------------------
| |
|Spiegelpunkte gehen unter Mo¨biustransformationen¨ uber in Spiegelpunkte. Es sei L (- M . Dann gilt:
| |
|L(rE(z)) = rL(E)(L(z)) |
| |
-----------------------------------------------------------------------------------------

Beispiel:

Gesucht ist eine konforme Abbildung {z||z| < 1}{w||w - 1| < 1} mit 0 und 10. Wir suchen also L mit folgenden Eigenschaften:

L(0) =
L(1) = 0

( ) 1 --1-- L( oo ) = r|z-1| 2 = 1- 1 + 1 = - 1 2

Daraus folgt nun:

L(z) = -z-+-1 z + 2

Spiegelung am Kreis:

-r2-- |z- a|= r : z '--> z- a-+ a

Gesucht sei eine Abbildung T : {Im(z) > 0}{w||w| < 1}. Die Funktion soll eine Möbiustransformation sein: $T = az +-b cz + d$
Unsere Forderung ist also:
- 0- 1
- 1- i
- 1
Die dritte Bedingung ergibt a = c. Daraus folgt:
$~ T(z) =-z +-b z + ~d$
Mit der ersten Bedingung ergibt sich = :
$z- ~b T(z) = ---~- z + b$
Jetzt ist nur noch die zweite Bedingung zu erfüllen:
$1--~b T(1) = 1 +~b = - i$

$z- i T(z) = ----: {z|Im(z) > 0}'--> {w||w |< 1} z + i$

$T (z) = rz--i+ a : {z| Im(z) > 0}'--> {w ||w - a|< r} z + i$
Die Umkehrabbildung lautet:
$-1 -w---a+-r- T (w) = i- w + a+ r$
Wir suchen eine Abbildung, welche folgende Gerade auf die reelle Achse abbildet: $if ^ z(t) = a+ te ,t (- R,tan f = Steigung$

$T(z) = e-if(z- a) : T (g) = ^R$