2.3 Der komplexe Logarithmus

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|Es sei Ea = {z| z /= 0,a < log(z) < a+2p}eine geschlitzte Ebene. Dann definieren wir die zu z = exp(w)
|geh¨orige Umkehrfunktion w = log(z). |
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Satz 2:

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|Fur jedes a (- R und jedes k (- Z wird durch log (z) := ln|z| + i(arg(z) +2kp), z (- |
|E¨ (z /= 0,a < arg(z) < a + 2p) eine schlichte Funktion definkiert. Es gilt: |
| a |
| 1 |
|log'k(z) = z f¨ur z (- Ea und exp(logk(z)) = z, z (- Ea |
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|Mann nennt die Funktion k-terr-Zweig des Logarithmus. F¨ur k = 0 heißt log0(z) der Hauptzweig des
|Logarithmus f¨ur a = p (odera = 0). DasBildvon Ea unterlogk ist{w|a+2kp < Im(w) < a+(2k+1)p}.|
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Beispiel:

Wenn man den Logarithmus einer Zahl berechnen will, bekommt man also nicht einen bestimmten Wert, sondern eine ganze Menge von Werten:

{ p } log(i) = z|z = i2-+ 2kp,k (- Z

Deshalb ist der Hauptwert definiert:

log0(i) = ip 2

Man kann jetzt auch den Logarithmus einer negativen Zahl berechnen, was im Reellen nicht möglich war:

log(- 1) = {z|z + ip + 2kpi,k (- Z}

log(1) = {z|z + 2kpi,k (- Z}

Nimmt man hier den Hauptwert des komplexen Logarithmus, so erhält man gerade den Logarithmus im Reellen.

Beispiel:

Es soll {z|Re(z) < 0} durch eine Logarithmusfunktion schlicht abgebildet werden. Man erhält dabei einen Streifen von i bis i.

Beispiel:

Wir berechnen die Stammfunktion von f(x) mit den Mittels der Funktionentheorie:

1 f(x) = 1-+x2

Durch komplexe Partialbruchzerlegung folgt:

f(x) =-----1-----= -A--+ -B-- (t+ i)(t- i) t+ i t- i

Mittels der Zuhaltemethode gewinnt man A und B:

1 A = - 2i

B = 1- 2i

Also folgt damit:

( ) ( ) ( ) f(x) = 1- -1--- -1-- = 1 --1--- --1-- = 1 --1-- + -1--- 2i t- i t+ i 2 it+ 1 it- 1 2 1 + it 1- it

Durch Integration erhalten wir:

integral integral ( ) F(x) = f(x) dx = 1 --1--+ --1-- = 1-[ln(1+ it) -ln(1- it)] 2 1+ it 1- it 2i

Wir erhalten nun mit der Definition des komplexen Logarithmus:

( ) ln(1+ it) = ln|1+ it| + iarg(1+ it) = 1+ t2+iarctan-t = 1+ t2+ iarctan(t) 1

( t) ln(1- it) = ln|1- it|+iarg (1 - it) = 1+t2 +iarctan -- = 1+t2 -iarctan(t) 1

Somit gilt also schlußendlich:

1 (( 2 ) ( 2 )) 1 |--------| F(x) = 2i 1 + t + iarctan(t) - 1+ t - iarctan(t) = 2i.2iarctan(t) =-arctan(t)-|

Damit folgt also das aus der reellen Analysis schon bekannte Ergebnis.

Übung:

{ p 3p } G = z |4-< arg(z) < 4-,1 < |z|< e

Diese Menge ist abzubilden mit Logarithmusfunktion, für die k = 1 zu wählen ist.

w = log (z) = ln |z|+ i(arg(z)+ 2p) 1

Definition:

Beispiel:

- a = 1-: z1n = n V~ z = e1n(ln|z| +iarg(z)+i2kp) n

n V~ z = n V~ |z| eiarg(nz)ei2kpn ,k (- Z

Das sind n verschiedene komplexe Zahlen, die man für k = 0, 1, 2, n - 1 erhält. Die Beziehung ist nichts anderes als die Formel von MOIVRE, die wir schon kennengelernt haben. Die Punkte bilden die Ecken eines regelmäßigen n-Ecks auf dem Kreis um den Nullpunkt mit dem Radius . Für n = 2 gilt beispielsweise: