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2.2 Umkehrfunktion/Der komplexe Logarithmus/Wurzeln

Definition:
|-------------------------------------------------------------------------------------| |f : G (_ C '--> C ist injektiv, falls aus z1 /= z2 folgt f(z1) /= f(z2). Aus f(z1) = f(z2) folgt z1 = z2. | ------- | ---------------------------------------------------------------------------------------

Definition:
|-------------------------------------------------------------------------------------| | | |Ist f : G (_ C '--> C holomorph und injektiv, so heiß t f schlicht. | ---------------------------------------------------------------------------------------

Beispiel:
f (z) = z2

{ } G = z (- C |0 < arg(z) < 3p- 2

Hier liegt keine Injektivität vor. f(z) = z2 ist aber auf G = {z|0 < arg(z) < p} injektiv.

Satz 1 (ohne Beweis):
|-------------------------------------------------------------------------------------| |w = f(z), z (- G sei schlicht auf G. Dann ist f(G) ein Gebiet. Die Umkehrfunktion g : f(G) '--> G ist |schlicht und es gilt: | | | | ' 1 | |g(w) = f'(g(w)),w (- f(G) | | | |Ist f in G schlicht, so gilt f'(z) /= 0 f¨ur z (- G. | | | ---------------------------------------------------------------------------------------
ew1 = ew2 <==> w1 = w2 + 2kpi,k (- Z

z = exp(w) ist auf Ga schlicht, exp(Ga) = Ea.

log : Ea '--> Ga

Komplexer Logarithmus:
exp (logz) = z

log(exp(w)) = w

ew = z

w (- Ga, z (- Ea, z sei gegeben. Gesucht ist w mit a < yarg(z) < a + 2p.

w = u+ iv

u iv iarg(z) e e = |z|e

eu = |z|==> u = ln |z|

|----------------------------------------------------------------------------------------| | | |f : G (_ C heißt schlicht (univalent), wenn f in G holomorph und injektiv ist. | -----------------------------------------------------------------------------------------

Beispiel:

f(z) = z2 ist injektiv auf {z|Im(z) > 0}.

Bemerkung:

|----------------------------------------------------------------------------------------| | ' | |Aus f(z) /= 0 A z (- G folgt nicht, daßf auf G injektiv ist. | -----------------------------------------------------------------------------------------

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