3.6 Die Wellengleichung in beschränkten Raumgebieten (Entwicklung nach Eigenfunktionen des - /_\ -Operators

G  (_ R3 sei ein beschränktes Gebiet mit G = G  U @G. @G sei stückweise glatt. Gesucht sei u = u(x,t), definiert für x  (- G, t > 0. Wir haben also das Problem:

(utt- c2 /_\ 3u)(x, t) = 0 f¨ur x  (-  G, t > 0

u(x,0) = f(x), ut(x,0) = y(x) f¨ur x  (-  G

u(x,t) = 0 f¨ur x  (-  @G und t > 0

Wir machen einen Separationsansatz. Dies kann man bei beschränkten Gebieten immer versuchen!

u(x,t) = v(x)T(t)

Wir setzen diesen Ansatz in die obige Gleichung ein und erhalten:

 ''   2               2
T v -c T /_\ v = 0   | : (c .vT )

1 T''(t)  Dv
c2-T-(t)-= -v-(x) = - c

c sei der Separationsparameter. Wir erhalten also zwei gewöhnliche Differentialgleichungen:

T ''(t)+ cc2T(t) = 0

 /_\ v(x)+ cv(x) = 0, v(x) = 0 f¨ur x  (-  @G

Zu betrachten ist das Eigenwertproblem - /_\ v(x) = cv(x) (x  (- G), v(x) = 0 (x  (- @G). Gesucht sind Lösungen v/=0 und zugehörige c’s, also gerade die Eigenwerte.

3.6.1 Entwicklungssatz

|------------------------------------------------------|
|            --                                        |
|Es sei f  (-  C2(G) und f (x) = 0 f¨ur x  (-  @G. Dann gilt: |
|                                                      |
|       sum  oo              --                             |
|f(x) =   akvk(x) f¨ur x  (-  G                           |
|      k=1                                             |
|                                                   -- |
|Die Konvergenz ist gleichma¨ßig (also unabh¨angig von x) auf G.
--------------------------------------------------------

Man hat dann:

      integral 
       f(x)v (x)dx
           k
ak = G- integral ---------f¨ur k = 1, 2, 3, ...
         v2k(x)dx
      G

Ergebnis:

Sind f, y in G genügend oft stetig differenzierbar, so ist die Lösung des Anfangswert-Randwertproblems (1), (2), (3) durch die Reihe

|------------------------------------------------------|
|         oo  sum  [         ( V~ ---)   (y,v )   (  V~ --)]      |
|u(x,t) =     (f,vn)cos  c cnt  + - V~ -n-sin  c  cnt  vn(x)|
---------n=1--------------------c--cn------------------

gegeben, wobei (,) für zwei reellwertige Funktionen f und g folgendermaßen definiert ist:

        integral 

(f,g) =  f(x)g(x)dx
       G

Beispiel:

Ist G = {(x,y)  (- R2|0 < x < a, 0 < y < b} ein Rechteck, so wird das Eigenwertproblem (4)

-vxx- vyy = cv(x,y) mit (x,y)  (-  G, v(0,y) = v(a,y) = v(x,0) = v(x,b) = 0

wieder mit einem Separationsansatz v(x,y) = X(x)Y (y) gelöst. Man erhält die orthonormierten Eigenfunktionen

                 (    )   (    )
vnm(x,y) =  V~ 2-sin np-x sin mp-y  f¨ur n, m = 1, 2, 3, ...
            ab     a        b

mit den Eigenwerten

      (np )2   (mp )2
cnm =   ---  +  ---
        a        b

Beispiel:

Ist G = {(x,y)  (- R|x2 + y2 < R2} ein Kreisgebiet, so wird (1), (2), (3) mit Polarkoordinaten geschrieben (u(r cosh,r sinh,t) := w(r,h,t)):

       (                 )
w  - c2  w  + 1w  + 1-w    = 0
  tt       rr  r  r  r2 hh

w(r,h,0) = f(r,h)(= f(rcosh,rsin h)) }
                                     0 < r < R, t > 0, 0 < h < 2p
wt(r,h,0) = g(r,h)(= y(rcosh,r sinh))

w(R, h,t) = 0

Der Separationsansatz w(r,h,t) = a(r,h)b(t) mit a(r,h) = /\(r)Q(h) liefert für /\(r) eine BESSELsche Differentialgleichung mit Parameter n  (- N von der eine im Nullpunkt reguläre Lösung gesucht wird. Bei der Gleichung für Q ist zu beachten, daß eine 2p-periodische Lösung Q = Q(r) gefordert ist.