G
3 sei ein beschränktes Gebiet mit G = G
G.
G sei stückweise
glatt. Gesucht sei u = u(x,t), definiert für x
G, t > 0. Wir haben also das
Problem:
Wir machen einen Separationsansatz. Dies kann man bei beschränkten Gebieten immer versuchen!
Wir setzen diesen Ansatz in die obige Gleichung ein und erhalten:
sei der Separationsparameter. Wir erhalten also zwei gewöhnliche
Differentialgleichungen:
Zu betrachten ist das Eigenwertproblem -v(x) =
v(x) (x
G), v(x) = 0
(x
G). Gesucht sind Lösungen v
0 und zugehörige
’s, also gerade die
Eigenwerte.
Wir multiplizieren nun mit v(x) durch und integrieren:
Daraus folgt dann = 0 oder
> 0.
= 0 bedeutet:
Damit erhalten wir schrittweise:
Aus vG = 0 folgt dann v = 0 und dies ist nach Definition keine
Eigenfunktion.
Mit v als Eigenfunktion zu ist auch v Eigenfunktion zu
.
Wir rechnen dies nach:
Es sei 1
2.
Man hat dann:
Sind ,
in G genügend oft stetig differenzierbar, so ist die Lösung des
Anfangswert-Randwertproblems (1), (2), (3) durch die Reihe
gegeben, wobei (•,•) für zwei reellwertige Funktionen f und g folgendermaßen definiert ist:
Ist G = {(x,y)
2|0 < x < a, 0 < y < b} ein Rechteck, so wird das Eigenwertproblem
(4)
wieder mit einem Separationsansatz v(x,y) = X(x)Y (y) gelöst. Man erhält die orthonormierten Eigenfunktionen
mit den Eigenwerten
Ist G = {(x,y)
|x2 + y2 < R2} ein Kreisgebiet, so wird (1), (2), (3) mit
Polarkoordinaten geschrieben (u(r cos
,r sin
,t) := w(r,
,t)):
Der Separationsansatz w(r,,t) =
(r,
)
(t) mit
(r,
) =
(r)
(
) liefert
für
(r) eine BESSELsche Differentialgleichung mit Parameter n
von
der eine im Nullpunkt reguläre Lösung gesucht wird. Bei der Gleichung
für
ist zu beachten, daß eine 2
-periodische Lösung
=
(r) gefordert
ist.