3.5 Abhngigkeits, Bestimmtheits- und Einflugebiet (n = 2, 3)

3.5 Abhängigkeits, Bestimmtheits- und Einflußgebiet (n = 2, 3)

Abhängigkeitsgebiet von (x₀,t₀): A_n(x₀,t₀)
Dies ist der Bereich der Anfangsmannigfaltigkeit, in dessen Punkten und gegeben sein müssen, um u(x₀,t₀) zu berechnen für folgendes Problem:
$utt- c2 /_\ nu = 0, u(x,0) = f(x), ut(x,0) = y(x)$
Aus der Lösungsformel kann man direkt ablesen:
$A (x ,t ) = {y (- R2 |||y - x ||< ct} = K(x ,ct ) 2 0 0 0 0 0 0$

${ } A3(x0,t0) = y (- R3|||y- x0||= ct0 = S(x0,ct0)$

M ² (³) sei ein beschränktes Gebiet:
$f(y) = y(y) = 0 fur y / (- M ¨$
Frage: Was merkt ein Beobachter an der Stelle x für t > 0? Für n = 2 gilt:
$a = iyn (- fM ||x- y||, b = sup ||x - y|| y (- M$
Für t < ist u(x,t) = 0. Ab t > merkt der Beobachter etwas von der Störung und diese Empfindung bleibt für alle Zeiten t. Es sei t > , = 0 und > 0:
$1 integral y(y) 1 integral y(y) u(x,t) = 2pc- V~ -2-2--------2 d(y1,y2) = 2pc V~ -2-2--------2 d(y1,y2) > 0 ||y-x||<ct c t - ||y- x|| M c t - ||y- x||$
Dann liegt M in diesem Kreis:
$M < K(x, ct)$
Es existiert eine vordere Wellenfront, die den Beobachter zur Zeit t = erreicht. Es gibt keine hintere Wellenfront, sondern eine dauerhafte Nachwirkung an der Stelle x. Diese Nachwirkung verhält sich wie O für t.
Für n = 3 gilt:
$0 f¨ur t < a- c { /= 0 f¨ur a< t < b u(x,t) = c c b 0 f¨ur t > c$
Es gibt somit sowohl eine vordere als auch eine hintere Wellenfront. Es gibt keine Dauernachwirkung und es gilt das Huygensche Prinzip:

Dies ist übrigens allgemein nicht gültig für gerade Raumdimensionen, also für n = 2, 4, 6, .... Dies gilt nicht für n = 1:
$x+ integral ct u(x,t) = 1 [f(x +ct)+ f(x -ct)]+ 1 y(s)ds 2 2c x-ct$
Hier haben wir keine Diffusion.
Bestimmtheitsgebiet L_n(M) mit M ⁿ
Dies ist die Menge der (x,t) ⁿ⁺¹, für die u(x,t) allein aus (y), (y) für y M berechnet werden kann.
$L (M ) = {(x,t) (- Rn+1 |t > 0,A (x,t) < M } n n$
Wir betrachten folgendes Beispiel für n = 3:
$M = K(x0, r) = {y (- R3|||y - x0||< r}$
Die Behauptung sei nun folgende:
${ r } L3(M ) = (x,t) (- R4 |0 < t < ,||y- x0||< r - ct c$
Man spricht aus in dieser Dimension von einem „Kegel“ über K(x₀,r) mit der Spitze in .
$A3(x,t) = {y|||y - x||= ct}= S(x,ct)$

$------- (x,t) (- L3(K(x0,r)) <==> S(x,ct) < K(x0, r)$

$------- ------- (x,t) (- L3(K(x0, r)) <==> x+ nct (- K(x0, r) A n mit||n|| = 1$

$(x,t) (- L3(K(x0,r)) <==> ||x + nct- x0||< r$
Es handelt sich um eine Mengengleichheit, die nachgewiesen werden muß. Wähle dazu n = . Durch Einsetzen folgt dann:
$|||| |||| ||||x + -x--x0-ct- x0|||| < r ||x- x0||$

$|| ( ) || ( ) ||||(x- x )|| 1 + ---ct--- ||||= 1+ ---ct--- ||x- x ||= ||x - x ||+ ct < r || 0 ||x- x0|| || ||x - x0|| 0 0$

Es sei x₃ > 0 und t > 0.

[]u(x, t) = f(x,t)

u(x,0) = f(x), u (x,0) = y(x) t

u(x1,x2,0,t) = h(x1,x2,t) f¨ur (x1,x2) (- R3, t > 0

Verträglichkeitsbedingungen
u sei Lösung. Setze dann w = u-v und bestimme v so, daß w = F(x,t) ist. $w(x,0) = f0(x), wt(x,0) = y0(x)$

$w(x1,x2,0,t) = 0$
Und außerdem gelte:
$F (x1,x2,0,t) = f0(x1,x2,0) = y0(x1,x2,0) = 0 (*)$
Wir machen dabei den folgenden Ansatz:
$2 3 4 v(x,t) = h(x1,x2,t)+ ~a(x1,x2,t)x3 + ~b(x1,x2,t)x3 +c~(x1,x2,t)x3$
Der Ansatz erfüllt dann Gleichung (*) unabhängig von ã, und .
$[ ] F(x1,x2,0,t) = [](u - v) = f(x1,x2,0,t)- vtt- c2(vx1x2 + vx2x2 + vx3x3) (x1,x2,0,t) = = f(x1,x2,0,t)- [htt(x1,x2,t)- c2(hx1x1 + hx2x2)(x1,x2,t)- c2 .2~a(x1,x2,t)]= 0$ (3.8)

Mit einer bestimmten Wahl von ã ist F(x₁,x₂,0,t) erfüllt.
Weiteres Vorgehen: $[]w = F~(x,t)$

$~ w(x,0) = ~f0(x), wt(x,0) = y0(x)$

$w(x1,x2,0,t) = 0$
, ₀ und ₀ seien die nach x₃ < 0 ungerade fortgesetzten Funktionen F, ₀ und ₀. Betrachte nun das Problem P_n in ³ × (t > 0). Es sei = (x,t) die Lösung von P_n. Zu zeigen ist, daß ungerade in x₃ ist bezüglich dem Nullpunkt.
$~w(x1,x2,- x3,t) = -w~(x1,x2,x3,t)$
Wir definieren folgende Funktion:
$w^(x1,x2,x3,t) = ~w(x1,x2,-x3,t) + ~w(x1,x2,x3,t)$

$[]w^(x1,x2,x3,t) = ~F(x1,x2,-x3,t) + ~F(x1,x2,x3,t) = 0$
Also gilt außerdem:
$^w(x1,x2,x3,0) = 0, ^wt(x,0) = 0$
Daraus ergibt sich also = 0 nach dem Eindeutigkeitssatz. _x₃>0 = w(x,t) ist nun Lösung des w-Problems ohne~ . Daraus folgt dann, daß u = w + v das Ausgangsproblem löst.

Abschließend kann noch angemerkt werden:

Probe sollte gemacht werden.
Probleme hinsichtlich der Differenzierbarkeit von ₀, ₀ und bei x₃ = 0.

Beispiel:

Wir wollen das folgende Problem

{ []3u(x,t) = h1(x)cos(wt)+ h2(x) sin(wt) f¨ur x (- R3, t > 0 (P ) u(x,0) = ut(x,0) = 0 f¨ur x (- R3

mit reellen Funktionen h₁ und h₂ lösen. Dazu setzen wir h(x) = h₁(x) + ih₂(x). Dann ist folgendes Problem zu lösen:

-- { []3u(x,t) = h(x)exp(- iwt) f¨ur x (- R3, t > 0 (P) = u(x,0) = ut(x,0) = 0 f¨ur x (- R3

Die Lösung von (P) ist dann Re(u(x,t)), wenn u das Problem (P) löst. Es sei h(x) für ||x|| > R. Für t > erhalten wir mit der KIRCHHOFFschen Formel:

integral u(x,t) = -1--exp(-iwt) h(y)exp-(ik||y--x-||)-dty f¨ur x (- R3, t > ||x-||+-R 4pc2 ||y- x|| c ||y||<R

Beispiel:

Wir betrachten ein Anfangswert-Randwertproblem im Halbraum {x₃ > 0} := {x = (x₁,x₂,x₃) ³, x₃ > 0}. Gesucht ist u = u(x,t) mit

{ []u(x,t) = f(x,t) f¨ur x3 > 0, t > 0 (P) u(x,0) = f(x), ut(x,0) = y(x) f¨ur x3 > 0 2 u(x1,x2,0,t) = h(x1,x2,t) f¨ur (x1,x2) (- R , t > 0

Die gegebenen Funktionen f, , und h seien genügend oft stetig differenzierbar.

Besitzt das Problem eine dreimal stetig differenzierbare Lösung in {x₃ > 0}×{t > 0}, so sind die folgenden Verträglichkeitsbedingungen erfüllt: $h| t=0 = f |x3=0, h|t=0 = y|x3=0$

$( ) ( ) c2 /_\ 3f + f |x3=0 = htt|t=0, c2 /_\ 3y + ft |x3=0 = httt| t=0$
Es sei u eine Lösung von (P). Gesucht wird v = v(x,t) so, daß für w(x,t) := u(x,t) - v(x,t) die folgenden Gleichungen und Bedingungen erfüllt sind: $[]3w(x, t) = F(x,t) := f(x,t)- []3v(x,t) f¨ur x3 > 0, t > 0$

$w(x,0) = f0(x) := f(x)- v(x,0) } wt(x,0) = y0(x) := y(x) - vt(x,0) x3 > 0$
- w(x₁,x₂,0,t) = 0 für (x₁,x₂) ², t > 0
- F = ₀ = ₀ = 0 für x₃ = 0
Mit noch freien Funktionen = (x₁,x₂,t), = (x₁,x₂,t), = (x₁,x₂,t) wird für v der Ansatz v(x,t) = h(x₁,x₂,t) + x₃² + x₃³ + x₃⁴ gemacht. Es ist (1) erfüllt und von (2) ebenfalls ₀ = ₀ = 0 für x₃ = 0, wie man mit obigen Verträglichkeitsbedingungen einsieht unabhängig von , und .

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