3.4 Das Cauchy-Problem fr die inhomogene Gleichung (n = 2, 3)/ Duhamel-Methode

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3.4 Das CAUCHY-Problem für die inhomogene Gleichung (n = 2, 3)/ DUHAMEL-Methode

n []u(x,t) = f(x,t) f¨ur x (- R , t > 0

n u(x,0) = 0, ut(x,0) = 0 f¨ur x (- R

Betrachte für mit 0 < < ct das Problem. Die Lösung sei dann w(x,t;).

2 3 utt- c /_\ u = 0 f¨ur x (- R , t > t

n u(x,t) = 0, ut(x,t) = f(x,t) f¨ur x (- R

Nach dem Prinzip von DUHAMEL ist die Lösung von oben:

integral t u(x,t) = w(x,t,t)dt 0

Wir schauen uns die inhomogenen Probleme an:

utt- c2 /_\ nu = f(x,t) f¨ur x (- R3, t > 0

u(x,0) = ut(x,0) = 0 (*)

Dies kann man analog zur eindimensionalen Gleichung mit der Methode von DUHAMEL lösen:

Suche w = w(x,t;), 0 < < t mit w_tt - c² $/_\$ _nw = 0 für x ⁿ, t > . Die Inhomogenität „rutscht“ in die Anfangsbedingungen:

w(x, j;j) = 0, wt(x,j;j) = f(x,j) f¨ur x (- Rn

Dann löst w(x,t) das Problem (*):

integral t w(x,t) = w(x,t;j)dj 0

Für n = 2 erhalten wir mit tt - , = 0 und = f:

integral t 1 integral f(y,j) u(x,t) = 2pc V~ -2-----2--------2-d(y1,y2)dj j=0 ||y-x||<c(t-j) c (t- j) - ||y- x||

Wir schauen uns den Integrationsbereich an:

(y,j) : 0 < j < ct,||y- x|| < c(t -j)

Für n = 3 gilt (Satz 2 (1)) mit ' = c(t - ):

j = 0 <--> j'= ct

j = t <--> j'= 0

dj'= -cdj

' j = t- j- c

t |_ _| ct | _ ( j') _| integral 1 integral 1 integral integral f y,t- c- ' u(x,t) = |_ 4pc2(t--j) f(y,j)ds(y) _| dj j'-->=j'= 4pc2- |_ -----j'----ds _| dj = j=0 ||y-x||=c(t-j) c(t-j) j'=0 ||y-x||=j' integral ( ||y-x||) = -1-- f-y,t----c----dt 4pc2 ||y- x|| (y) ||y-x||<ct

(3.7)

Dies bezeichnet man als retardiertes Potential.

Maxwellgleichungen:
Für das Vektorpotential und das skalare Potential erhält man inhomogene Wellengleichungen.
Potentialgleichung: $/_\ u = 0 (Poissongleichung)$

$/_\ u = r$
Wenn man diese Gleichung löst, erhält man:
$1 integral r(y) u(x) =--- --------,dt(y) 4p ||y-x||<R ||y - x||||$

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