1.3 Bemerkungen zu ” Wellen“

1.3 Bemerkungen zu „Wellen“

Wir betrachten im folgenden physikalische Probleme, die auf Gleichungen der Art vorher führen. x, y, z:= seien nun räumliche Variable. t stellt die Zeitvariable dar. Wir betrachten also u = u(,t). Die n-dimensionale (n = 1, 2, 3) Wellengleichung ist:

|--------------------------------------------| []nu(r,t) = utt(r,t)- c2 /_\ nu(r,t) = 0 mit /_\ = \~/ . \~/ ----------------------------------------------

Wir wollen jetzt auch Lösungen der dreidimensionalen Wellengleichung angegeben:

utt(r,t)- c2[uxx(r,t)+ uyy(r,t)+ uzz(r,t)] = 0

Es gelte folgender Ansatz:

u(r,t) = a1x + a2y+ a3z + a4 = a .r+ a4t mit a (- R3

u(r,t) = f(a.r + a4t)

Dies leiten wir ab:

2 '' utt = x4f (a.r + a4t)

\~/ u = af'(a .r+ a t) 4

/_\ u = \~/ . \~/ u = a.af''(a.r + a4t)

Durch Einsetzen in die Differentialgleichung erhalten wir:

( ) []u = a24 - c2||a||2 f''(a .r+ a4t) = 0

Wir bekommen also folgende Bedingung:

|--------| |2 -a24-| c = ||a||2| ----------

Das Ergebnis bisher lautet:

|----------------------------------------------------------------------------------------|
| |
|F¨ur jede f (- C2 ist durch u(r,t) = f(a.r + a4t) mit a (- R3, a4 (- R eine L¨osung von []u = 0 gegeben,
|falls gilt: |
||--------| |
|| a2 | |
|c2 = ||a4||2| |
|---------- |
-----------------------------------------------------------------------------------------

\text{[math]}

Diese Bedingung wird nun wie folgt erfüllt:

a = n,||n ||= 1 ==> a4 = ± c

Damit erhält man:

u1(r,t) = F (n .r+ ct)

u (r,t) = G(n .r- ct) 2

u(,t) = F(^. + ct) + G(^.-ct) sind für beliebige C²-Funktionen Lösungen von u(,t) = 0 mit ³ und t > c. (,t) = ^. ± ct heißt Phasenfunktion von u₁, u₂. Die Geschwindigkeit, mit der sich die Welle ausbreitet, nennen wir Phasengeschwindigkeit.

Es sei t = t₀ fest und :
Dann wird durch ^.±ct₀ = eine Ebene beschrieben mit Normalenvektor . Deswegen heißen u₁(,t) und u₂(,t) ebene Wellen.

Bestimmte ebene Welle sind harmonische Wellen. Für n = 1 (Dimension) gilt:

u(x,t) = sin (x - ct)

Um das Argument innerhalb des Sinus dimensionslos zu machen, schreiben wir die sogenannte Wellenzahl k vor das Argument:

u(x,t) = sin[k(x -ct)]

Mit der Amplitude u₀ erhalten wir dann:

|----------------------| |u(x,t) = u0sin [k(x - ct)]| -----------------------

Außerdem sind folgende Begriffe wichtig:

Wellenlänge $c = 2p- k$
Schwingungsdauer T $2p- T = kc$

Damit gilt nun:

1- kc = w, T = n

[ (x )] [ (x t)] u(x,t) = u0sin(kx - kct) = u0 sin(kx - wt) = u0sin w -- t = u0sin 2p --- -- c c T

Man kann die Welle auch komplex schreiben:

u(x,t) = u0exp[i(kx - wt)]

Physikalische Interpretationen finden sich dann in Real- und Imaginärteil. In drei Dimensionen gilt nun:

u(r,t) = u0exp[i(kn .r- wt)]

k = bezeichnet man auch als Wellenvektor (englisch: propagation vector). Der Betrag dieses Vektors ist dann gerade die Wellenzahl.
Nun führen wir weitere Bezeichnungen ein. Es sei folgendes Vektorfeld gegeben: