1.4 Kugelwellen

Wir betrachten nun im folgenden räumlich anschwellende (abfallende) Kugelwellen. Wir nehmen dazu an, daß wir eine Lösung u = u(,t) mit u_tt(,t) - c² $/_\$ u(,t) = 0 haben, die nur r = |||| = abhängen. Es gelte nun:

u(r,t) =: v(r,t)

Welcher Gleichung genügt dann v? Wir transformieren dazu die ursprüngliche Gleichung in Kugelkoordinaten, so daß der Winkelanteil herausfällt.

( V~ ----------- ) u(x,y,z,t) = v x2 + y2 +z2,t

Durch Differentiation folgt dann:

u = v .r , u = v r2+ v r x r x xx rr x rxx

In mehreren Dimensionen gilt:

|--------------------| | /_\ u = v || \~/ r||2 + v /_\ r -------rr--------r----

Weiterhin gilt:

|----------------| | \~/ r = r,|| \~/ r ||= 1 ------r----------|

(r) /_\ r = \~/ . \~/ r = \~/ . r

Wir erinnern uns an dieser Stelle:

\~/ .(f (r)g(r)) = \~/ f(r).g(r)+ f(r) \~/ .g(r)

Angewendet auf unsere Rechnung folgt:

( ) ( ) ( ) \~/ . r = r. \~/ 1 + 1 \~/ .r = r. --1 r + 3 = - 1+ 3 = 2 r r r r2 r r r r r

Somit gilt:

|-------------------------| | 2 ( 2 ) | vtt(r,t)- c vrr + rvr = 0 | --------------------------

1 1 1 1 1 1 1 vrr+ rvr+ rvr = r (rvrr + vr +vr) = r [(rvr)r + vr] = r (rvr +v)r = 2 [(rv)r]r = r(rv)rr

Damit folgt für unsere Gleichung:

|----------------| |rvtt- c2(rv)rr = 0| -----------------

(rv) - c2(rv) = 0 tt rr

Es handelt sich genau um unsere eindimensionale Wellengleichung, deren Lösung wir sofort angeben können:

rv(r,t) = f(r +ct)+ Y(r - ct) mit beliebigem f, Y

Man nennt also folgendes eine Kugelwelle:

|----------------------------| | 1 1 | |v(r,t) = r f(r + ct)+ rY(r- ct)| -----------------------------

1.4.1 Stehende Wellen

Es handelt sich hierbei um Lösungen der Wellengleichung u_tt - c² $/_\$ u = 0 folgender Form:

|u(r,t) =-f(r)g(t) ----------------

Die Variablen sind also gerade separiert. Wir haben also eine feste Form, während die Amplitude von der Zeit abhängt. Nullstellen von f heißen Knoten.

Beispiel:

Wir betrachten:

utt- uxx = 0

Eine mögliche Lösung ist:

1 u(x,t) = 2 (sin(x + t)+ sin(x - t)) = sin(x)cos(t)

Die Knoten sind gerade die Nullstellen der Sinusfunktion:

xk = kp f¨ur k (- Z

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