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1.5 Zylinderwellen

Dieselbe Rechnung wie vorher liefert:

/_\ u = vrr + vr /_\ r

Schauen wir uns nochmals /_\ r an:

(r ) ( 1) r 1 1 /_\ r = \~/ . r = r. - r2 r + r .2 = r

Damit folgt wieder für die Gleichung:

|------------------| | 2( 1 ) | vtt = c vrr + rvrr | --------------------

Es handelt sich um die Zylinderwellengleichung. Gesucht sind Lösungen der Form, wobei die Zeitabhängigkeit harmonisch sein soll:

|------------------| v(r,t) =-f(r)exp(iwt)

Durch Einsetzen folgt:

[ 1 ] - w2f(r)exp (iwt) = c2exp (iwt) f''(r)+-f'(r) r

2 2[ '' 1 ' ] -w f(r) = c f (r)+ r f(r)

Dann erhalten wir:

|------------------------| | 1 w2 | f ''(r)+ rf'(r)+ -c2-f(r) = 0|f¨ur r > 0 --------------------------

Für gewisse Parameter handelt es sich um eine Besselsche Differentialgleichung. Diese kann man mit einem verallgemeinerten Potenzreihenansatz lösen (siehe HM III). Gesucht sind Lösungen der Form:

v(r,t) =-f(r)exp-(iwt) --------------------

u(x,y,t) = exp[i(kn .r+ wt)]

Wir wählen n folgendermaßen:

(cos f) n = sin f mit beliebigem h

u(x,y,t) = exp [ik(xcosh + ysin h)]exp(iwt)

Führe in der (x,y)-Ebene nun Polarkoordinaten (r,f ein:

u(rcosf,rsinf,t) = ~v(r,f, t) = exp (irkcos(h- f))exp(iwt)

integral 2p v(r,t) = exp(iwt) exp (irkcos(h- f)) dh 0-------- --------- f(r)

Dies ist eine Lösung der Besselschen Differentialgleichung. Dieses Integral hängt nicht von f ab.

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