3.1 Plateau-Problem

integral F(y) = ||D1y(x)× D2y(x)||dx G

Es gelte G ² und n = 2, also x = (x₁,x₂). Außerdem haben wir N = 3:

( ) y1(x1,x2) y2(x1,x2) y = y(x) = y3(x1,x2)

Dy(x) = (D1y1(x),D1y2(x),D1y3(x),D2y1(x),D2y2(x),D2y3(x))

f = f(x,z,p) = f(x1,x2,z1,z2,z3,p1,p2,p3,p4,p5,p6)

In HMI hatten wir folgendes berechnet:

( ) ( ) ( ) ||a × b||2 = a ×b . a× b = ||a||2|| b||2 - a.b 2

Also gilt damit:

V~ --2---2---2---2---2---2-------------------- f = (p1 + p2 + p3)(p4 + p5 + p6)- (p1p4 + p2p5 +p3p6)

Die Berechnung selbst soll hier nicht durchgeführt werden, sondern wird als Übung aufgefaßt. Wir notieren uns das Endergebnis:

|--------- integral -----2------------------2---------------------------------------------------| dF (y;v) = ||D2y-||-(D1y-.D1v)-+-||D1y||-(D2y-.D2v)--(D1y-.D2y)1(D2y-.D1v-+-D1y.D2v)-d(x1,x2)| | [|| D1y||2||D2y ||2- (D1y .D2y)]2 | ----------G------------------------------------------------------------------------------

F (y) = y2(b)

dF(y,v) = f'(0), f(e) = F(y+ev) = (y + ev)2(b) = y2(b)+2ey(b)v(b)+e2v2(b) = 2y(b)v(b)

Wir haben F : Y , wobei F linear sei, also folgende Eigenschaften besitzt:

Ein lineares Funktional ist beispielsweise:

integral b ' F (y) = y(x)dx, F (y) = y(x) a

' 2 dF (y;v) = f (0) = F(v), dF (y;v) = 0

Dies ist genau das, was man bei linearen Funktionen erwartet, nämlich y'(x) = const. und y''(x) = 0.

f(e) = F(y+ ev) = F (y)+ eF(v)