6.6 Abrundung von Ecken/Rounding Argument

Satz:

Vorbereitung:

Es sei ²1, also eine Kurve, welche Ecken haben kann, und > 0 beliebig fest. Dann gibt es eine Kurve ' mit der Eigenschaft:

Um eine solche Kurve zu finden, macht man einen Ansatz y = a + bx + cx² + x³.

Ist I J und f : J, so gilt min_Jf(x) < min_If(x). Ist F : ¹[a,b] mit C¹[a,b] ¹[a,b] und F(y) = _a^bf(x,y(x),y'(x))dx, so ist min_C¹[a,b]F(y) = min_¹[a,b]F(y).

Beweis:

• Es sei > 0 und ¹ gegeben. Dann gibt es ' C¹ mit < . Man findet dies in der Literatur unter Abrundung von Ecken (Rounding Argument).
• Satz:
  

  Aus F(') < F() C¹, folgt F(') < F() ¹.

Annahme:

Es gibt ¹ mit F() < F('). Setze = (> 0) Mit 1.) wählen wir '' C¹ und |F() -F('')| < . Durch Auflösen dieser Betragsungleichung gilt - < F() - F('') < . Daraus ergibt sich:

Hierbei handelt es sich um einen Widerspruch.