9.4 Kanonische Transformationen/HAMILTON-JACOBI-Gleichung

Gesucht ist ein Variationsintegral derart, daß die zugehörige EULERgleichungen gerade die zugehörigen HAMILTONgleichungen sind. Damit soll folgendes Funktional stationär werden:

Wir schreiben die EULERschen Gleichungen für f(t,q(t),p(t),(t),(t)) = (t) ^. p(t) -H(t,q(t),p(t)) = v ^. w -H(t,u,w) hin:

Hieraus ergibt sich dan weiter durch Einsetzen der ursprünglichen Variablen die HAMILTONschen Gleichungen:

Wir betrachten nun:

Auch hieraus ergibt sich also = -H_u und = H_w.

Satz:

Wir bilden also die Differenz der beiden Funktionale:

Die zugehörigen EULERgleichungen lauten:

Damit liefern die EULERschen Gleichungen keine Bedingungen.

Satz:

Beweis:

Der letzte Ausdruck ist unabhängig von , womit die Ableitung gleich 0 ist.

Corollar:

Es sei H = H(t,u,w) mit u ^N und w ^N seien gegeben. Für q = q(t), p = p(t) gelten:

Gesucht ist eine Transformation (u,w) [^N × ^N] (U,W) [^N × ^N] und eine Funktion H = H^*(t,U,W) derart, daß für die mittels der Transformation aus (q(t),p(t)) hervorgehenden Funktionen (Q(t),P(t)) die folgenden Gleichungen gelten:

Bemerkung:

Es sei p = (t,Q,P) und q = (t,Q,P):

Herleitung:

Vor vorher betrachten wir folgendes Funktional, welches stationär werden soll:

Die zugehörigen EULERschen Gleichungen lauten (t) = H_w, (t) = -H_u (für 2N Funktionen).

Hier lauten die EULERgleichungen (t) = H_W^* und (t) = -H_U^* (für 2N Funktionen). Wir wollen nun ein Problem für 4N Funktionen herleiten, indem wir beide Funktionale voneinander subtrahieren:

Für dieses Problem gelten dann alle EULERgleichungen der beiden einzelnen Probleme, also erhalten wir 4N Funktionen. Nun können wir noch einen zusätzlichen Term in Form einer totalen Zeitableitung addieren:

Dies gilt für eine beliebige Funktion F = F(t,q,p,Q,P) von 4N + 1 Variablen. Nach den Vorbemerkungen hat das Variationsproblem mit dem Integranden

dieselben 4N EULERgleichungen. Angenommen, wir haben die gesuchte Transformation p = (t,Q,P), q = (t,Q,P). Hiermit können 2N Variablen in F eliminiert werden, so daß F von 2N + 1 Variablen abhängt. F muß von einem Satz alter und einem Satz neuer Variablen abhängen. Dafür gibt es die vier Möglichkeiten F = F(t,q,Q), F = F(t,q,P), F = F(t,p,P) und schließlich F = F(t,p,Q). F heißt Erzeugende Funktion der Transformation. Wir bestimmen F im Fall F = F(t,q,P).

Hiermit folgt aus (*):

Diese Gleichung ist erfüllbar, falls F_q(t,q,P) = p, F_p(t,q,P) = Q und H^* = H + F_t gilt. Aus der zweiten Bedingung kann man q = (t,Q,P) bestimmen und damit folgt aus der ersten Bedingung p = (t,Q,P). Betrachten wir schlußendlich noch die dritte Bedingung, so erhalten wir:

Die Idee ist nun folgende:

Dies bedeutet = H_p und = -H_q.

Das Ziel ist nun = ^* = 0. Dazu machen wir den Ansatz (-^* = 0 und dies gilt, falls:

Wir eliminieren in F zunächst 2N Variablen mittels der kanonischen Transformation, so daß F von t und einem Satz alter und einem Satz neuer Koordinaten abhängt: F = F(t,q,P), F(t,p,P) und F(t,q,Q). Wir verwenden den Fall F = F(t,p,P):

Dies ist äquivalent zu:

Wir definieren an dieser Stelle Q(t) := F_p(t,p(t),P(t) und hieraus folgt p(t) = (t,Q,P). Außerdem setzen wir _p(t)=(t,Q,P) = (t,Q,P).

Beispiel:

Es sei F(t,q,P) = q ^. Pt (mit N = 1). Aus Q = F_p erhalten wir Q = qt und damit q = (= (t,Q,P). Aus p = F_q folgt p = Pt(= (t,Q,P)) und P = .

Probe:

Als Voraussetzung verwenden wir = H_p(t,q,p) und = -H_q(t,q,p) und behaupten, daß = H_P^*(t,Q,P) und = -H_Q^*(t,Q,P).

Kommen wir zurück zu F = F(t,q,P).

Eine Erzeugendenfunktion F = F(t,q,P), für die H^*(t,Q,P) = 0 t, Q und P gilt, heißt Wirkungsfunktion A(t,q,P). Aus H^* = 0 ergibt sich (t) = (t) = 0, also Q(t) = ( ^N) und P(t) = ( ^N), wobei , konstant sind. Hieraus folgt A = A(t,q,).

Dies ist die sogenannte Hamilton-Jacobi-Differentialgleichung. Hierbei handelt es sich um eine partielle (im allgemeinen nichtlineare) Differentialgleichung 1.Ordnung für A. A = A(t,q,) sei die Lösung, die von N Konstanten ₁, ₂, ..., _N abhängt. Aus F(t,q,P) erhalten wir Q = F_P = A_P = A = . A(t,q,) = ist eine implizite Darstellung für q = q(t) und ist abhängig von 2N Konstanten ₁, ..., _N und ₁, ..., _N.

9.4.1 Satz von JACOBI/JACOBIs Methode zur Lösung

Betrachten wir das System der HAMILTONschen Gleichungen:

Gesucht sind x = x(t) ⁿ und y = y(t) ⁿ. Betrachte die zugehörige HAMILTON-JACOBI-Gleichung für eine Funktion S = S(t,x):

Wir begnügen uns mit der Voraussetzung H C²( × ⁿ × ⁿ). S = S(t,x,a) sei Lösung der HAMILTON-JACOBI-Gleichung, die noch von n Parametern a abhängt. Das heißt für jedes a B ⁿ gelte S_t(t,x,a) + H(t,x,S_x(t,x,a)) = 0 (1). Des weiteren sei det(S_xja_k)0 auf × ⁿ × ⁿ. Solch eine Lösung bezeichnet man auch als vollständiges Integral. Dann gewinnt man aus den Gleichungen

mit beliebigen Parametern b = (b₁,...,b_n) eine 2n-parametrige Lösungsschar des HAMILTONschen Systems: x = X(t,a,b und y = Y (t,a,b).

Beispiel:

Folgendes Funktion mit y = y(x) soll stationär werden:

Gesucht ist S(x,y,a) mit S_x + H(x,y,S_y) = 0. Hier gilt also S_x + = 0.

Man bezeichnet eine solche Differentialgleichung auch als Eikonalgleichung. Zur Lösung dieser partiellen Differentialgleichung machen wir den Separationsansatz S(x,y) = f(x) + g(y).

Wir erhalten die zwei gewöhnlichen Differentialgleichungen f'²(x) = x² + a und g'(y)² = y² - a und damit:

Durch Auflösen nach y erhalten wir die gesuchten Extremalen:

Es handelt sich um eine implizite Lösungsdarstellung.

Beweis:

• Wir nutzen aus, daß S_t(t,x,a) + H(t,x,S_x(t,x,a)) = 0 (1) eine Lösung der Differentialgleichung ist.

  Wir differenzieren (1) nach a:

  

  Anschließend differenzieren wir nach x:

  

• Wir setzen dies in die Gleichung S_a(t,X(t,x,a),a) = b ein. Dazu differenzieren wir nach t:

  Wir subtrahieren Gleichung (2) von (1)_a:

  

  Dies muß für alle k Summanden gelten, wobei vorausgesetzt wird, daß die Determinante 0 ist.

  

• Wir differenzieren y = S_x(t,X(t,a,b),a) = Y (t,a,b) nach t und setzen (1)_x ein:

9.4.2 Der schiefe Wurf

Wir setzen voraus, daß alles in der Ebene stattfindet.

Die EULERgleichungen lauten:

Hieraus ergibt sich ₁ = 0 und ₂ = -g. Mit p₁ = m₁, ₁ = und p₂ = m₂, ₂ = erhalten wir:

Die HAMILTON-JACOBI-Gleichung lautet für S = S(t,x,a):

Wir machen eine Variablentrennung S = u(x₁) + v(x₂) + w(t) als Ansatz:

Wir bringen das, was nicht von t abhängig ist, auf die rechte Seite:

Wir erhalten also:

Als Lösung folgt:

S ergibt sich aus u + v + w. Der Satz sagt aus: „Bilde S_a1 = b₁ und S_a2 = b₂ und berechne hieraus x = x(t).“

Aus x₁(0) = 0 folgt aus der ersten Gleichung b₁ = 0 und aus der zweiten Gleichung b₂ = -.

9.4.3 Das Zweikörperproblem

Das Problem findet wieder in einer Ebene statt:

Die Masse m₂ soll in Ruhe sein. Gesucht ist die Bahnkurve von m₁:

Mit U = - und T = (₁² + ₂²) ergibt sich:

Die HAMILTON-JACOBI-Gleichung lautet für S = S(t,x₁,x₂):

Wir bezeichnen = und nennen wieder S mit = ²:

Wir führen Polarkoordinaten ein durch x₁ = r cos und x₂ = r sin:

Mit _r = S_x1 cos + S_x2 sin und = S_x1(-r sin) + S_x2(r cos) folgt:

Gesucht ist = (t,r,,a₁,a₂). Hier kann man nun den Separationsansatz = ₁(t) + ₂() + ₃(r) machen:

Hieraus ergibt sich ₁(t) = a₁t und weiter:

Hieraus folgt ₂() = a₂. Mit r₀ = r(t₀) für t > t₀ folgt:

Nach unserem Satz von JACOBI setzen wir _a1 = b₁, _a2 = b₂ und bestimmen hieraus r = r(t), = (t):

Hierbei handelt es sich um eine Darstellung für r = r(t): das Weg-Zeit-Gesetz. Wir setzen:

Dies ist eine implizite Darstellung von r = r(), also der Bahnkurve. Mittels BRONSTEIN folgt hieraus jetzt: