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Kapitel 9
HAMILTON-Prinzip, Kanonische Form der EULERgleichungen,
HAMILTON-JACOBI-Differentialgleichung

Es sei y = y(t) (- R3 die Bahnkurve eines Massenpunktes m, der sich unter der äußeren Kraft F(t) während der Zeit t1 - t0 bewegt. Die Newtonschen Gleichungen lauten:
|d---------------------------| |--(m ˙y(t)) = F(t) f¨ur t0 < t < t1 (1) -dt--------------------------|

Gesucht ist L = L(t,u,v) mit (t,u,v) (- R × R3 × R7 so, daß die Lösungen von (1) stationäre Funktionen für das Funktional

integral t1 W (y) = L(t,y(t), ˙y(t))dt t0

sind. Die EULERgleichungen zu W sind:

d- dtLv(t,y(t),y˙(t)) = Lu(t,y(t),y˙(t)) f¨ur t0 < t < t1

Wir setzen Lv(t,u,v) = mv und erhalten L(t,u,v) = 12m||v||2 - U(t,u). Damit gilt für die rechte Seite Lu = -Uzu(t,u) = F(t). Fassen wir das zusammen, was wir bisher erhalten haben: Gilt Uu(t,u) = -F(t), so stimmen die EULERgleichungen von

integral t1(1 ) W (y) = 2m ||˙y(t)||2- U(t,u) dt t0

mit (1) überein (dW(y,s) = 0 A s (- D0). mj für j = 1, 2, ..., n seien nun n Massenpunkte, deren Lage durch yj(t) (j = 1, 2, ..., n) (- R3 beschrieben wird. Hierzu gehört die kinetische Energie

n T = 1 sum m ||˙v (t)||2 2j=1 j j

und die potentielle Energie U, herrührend von auf das System wirkenden äußeren Kräften.


 9.1 HAMILTON-Prinzip
  9.1.1 Ebenes starres Pendel
  9.1.2 Kugelpendel
  9.1.3 Feder-Masse-Pendel
 9.2 Energiebetrachtungen
 9.3 Kanonische Form der LAGRANGEgleichungen
  9.3.1 HAMILTONfunktion
  9.3.2 Legendre-Transformation
 9.4 Kanonische Transformationen/HAMILTON-JACOBI-Gleichung
  9.4.1 Satz von JACOBI/JACOBIs Methode zur Lösung
  9.4.2 Der schiefe Wurf
  9.4.3 Das Zweikörperproblem

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