9.3 Kanonische Form der Lagrangegleichungen

9.3 Kanonische Form der LAGRANGEgleichungen

Ziel:

Ersetze durch 2N Gleichungen 1.Ordnung für q = q(t) ^N und p = p(t) ^N (verallgemeinerte Impulse). Die Idee ist dabei folgende:

¨x(t) = f(t,x(t), ˙x(t)) mit x(t) (- RN

Betrachten wir dazu das Wirkungsfunktional:

integral t W (q) = L(t,q(t),q ˙(t))dt mit q(t) := u (- RN und q˙(t) := v (- RN t0

Die zugehörigen LAGRANGEgleichungen lauten:

d-L (t,q(t),q ˙(t)) = L (t,q(t),q ˙(t)) (1) dt v u

Es handelt sich um N Differentialgleichungen 2.Ordnung. Diese können in 2N Differentialgleichungen 1.Ordnung umgeschrieben werden. Wir definieren dazu die verallgemeinerten Impulse:

p(t) := Lv(t,q(t), ˙q(t)) (2)

Diese Gleichung sei im folgenden auflösbar nach (t). Damit können wir schreiben:

˙q(t) = f(t,q(t),p(t)) (3)

Aus Gleichung (1), (2) und (3) ergibt sich dann:

|----------------------------------------| |˙p(t) = Lu(t,q(t),f(t,q(t),p(t))) = y(t,q(t),p(t)) ------------------------------------------

Dies sind 2N Gleichungen 1.Ordnung für p und q. Hierbei gelten folgende Aussagen:

Ist q Lösung von Gleichung (1), so genügen p und q den Gleichungen (3) und (4).
Genügen p und q den Gleichungen (3) und (4), so genügt q der Gleichung (1).

Beweis:

Wir setzen Gleichung (3) in (4) ein:

d-Lv(t,q, ˙q) = ˙p(t) = Lu(t,q(t), ˙q(t)) dt

Was heißt, daß p(t) = L_v(t,q(t),(t)) nach auflösbar ist? Im Falle N = 3 gilt:

p1 = Lv1(t,q1,q2,q3,q ˙1, ˙q2, ˙q3)

p = L (t,q ,q ,q ,q ˙, ˙q , ˙q) 2 v2 1 2 3 1 2 3

p3 = Lv (t,q1,q2,q3,q ˙1, ˙q2, ˙q3) 3

Damit diese Gleichungen nach ₁, ₂, ₃ auflösbar sind, muß detL_{v_jv_k}0 gelten für j, k = 1, 2, 3.

Beispiel:

Falls T(u,v) = vA(u)v und L(t,u,v) = vA(u)v - U(t,u) ist, gilt L_v = Av. Das Gleichungssystem lautet dann p(t) = A(q(t))(t). Auflösbarkeit nach (t) bedeutet gerade Invertierbarkeit von A(u) (beispielsweise wenn T(u,v) = v positiv definit ist).

9.3.1 HAMILTONfunktion

Betrachten wir folgenden Energieausdruck:

E(t,q(t), ˙q(t)) = q˙(t).Lv(t,q(t),q ˙(t)) - L(t,q(t), ˙q(t))

Es gilt daher für die HAMILTONfunktion H:

H(t,q(t),p(t)) = E(t,q(t),f(t,q(t),p(t))) = f(t,q(t),p(t)).p(t)- L(t,q(t),f(t,q(t),p(t)))

Wir bezeichnen im folgenden q(t) mit u und p(t) mit w und differenzieren formal nach w:

Hw(t,q(t),p(t)) = fw(t,q(t),p(t)).p(t)+f(t,q(t),p(t))- Lv(t,q(t),f(t,q(t),p(t))).fw(t,q(t),p(t)) p(t)

Damit folgt für die erste HAMILTON-Gleichung:

|------------------(------)-| Hw(t,q(t),p(t)) = ˙q(t) = @H- | -----------------------@p----

Nun zur Herleitung der zweiten HAMILTON-Gleichung. Dazu differenzieren wir formal nach u:

Hu(t,q(t),p(t)) = fu(t,q(t),p(t)).p(t)-Lu(t,q(t),f(t,q(t),p(t)))-Lv(t,q(t),f(t,q(t),p(t))).fu(t,q(t),p(t)) p(t)

|--------------------(----@H-)-| |˙p(t) = - Hu(t,q(t),p(t)) = ---- | --------------------------@q---|

Außerdem gilt:

|-----------------------------| | -d | Ht(t,q(t),p(t)) =-dtH(t,q(t),p(t))-

Bemerkung:

Es gilt (t,q(t),p(t)) ^N; es handelt sich also um einen N-dimensionalen Vektor. Was heißt _w(t,q(t),p(t)) ^. p(t)? Dazu führen wir die Berechnung explizit durch: