9.2 Energiebetrachtungen

Betrachten wir nochmals das Wirkungsfunktional:

Dazu schauen wir uns die 2.eulergleichung (in Integralform) an:

Den Ausdruck auf der linken Seite kann man nun als eine Energie -E(t,q(t),(t)) interpretieren:

Mit L(t,q(t),(t)) = T(q(t),(t)) - U(t,q(t)) und T(q(t),(t)) = (t)A(q(t))(t) gilt E = T + U (Gesamtenergie).

Beweis:

Hierbei handelt es sich um unsere Homogenitätsrelation. Für > 0 gilt:

Das heißt, T ist in den v-Variablen positiv homogen vom Grad 2. Mit Satz 2 auf Z 22 folgt (t) ^. T_v(q(t),(t)) = 2T.

Bemerkung:

Hängt L nicht explizit von t ab, so ist die Energie konstant t; oder mit anderen Worten hängt die Energie nur von den Anfangsbedingungen ab.

Eine solche Größe bezeichnet man als ein Bewegungsintegral (=eine Funktion in q(t), (t), welche zeitlich konstant ist). Man nennt eine solche Funktion auch erstes Integral. Beim Feder-Masse-Pendel hängt beispielsweise L nicht explizit von der Zeit ab:

Beispiel:

Betrachten wir ein Feder-Masse-Pendel, für das x(t₀) = 0, (t₀) = 0, (t₀) = v₀ und (t₀) = 0 gilt, folgt E = (m + M)v₀²; damit ist die Energie zeitlich konstant.