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Kapitel 8
Etwas zu „Computational Physics“


 8.1 Selbstschwingender Oszillator
Newtongleichung:
¨x(t) = f(x,v,t) 1.Teilchen, x-Achse

Differentialgleichung:
} ˙x(t) = v(t) 2 gekoppelte Differentialgleichungen 1.Ordnung ˙v(t) = f (x,v,t)

Eine Differentialgleichung 1.Ordnung lautet ˙v = f(v,t). Diese ist beispielsweise für Reibung realisierbar; es gilt nämlich m˙v = -gv.

Richtungsfeld:

PIC

Wir betrachten eine Differentialgleichung 1.Ordnung ˙v = f(v,t) numerisch. Dazu entwickeln wir in eine Taylor-Reihe:

v(t0 + Dt) = v(t0) + ˙v(t0) Dt+ 1¨v(t0) (Dt)2 + ... - - - - 2 - Anfangsbedinung f0=f(v,t0) ddt(f(v,t))=f0

Beispiel:
- gv˙= - g-f0 m m

Newton-Gleichung:
Es gilt:
˙x(t) = v(t)

˙v(t) = f (x,v,t)

Dann entwickeln wir in eine Taylor-Reihe:

|-----------------------------------------| |x(t0 + Dt) = x(t0)+ x˙(t0)Dt + 1x¨(t0)(Dt)2 +... ---------------------------2---------------

x1 = x0 + v0Dt + 1f0(Dt)2 2

|-----------------------------------------| | 1 2 | |v(t0 + Dt) = v(t0)+ v˙(t0)Dt + 2¨v(t0)(Dt) + ... -------------------------------------------

1 2 v1 = v0 + f0Dt + 2f0(Dt)

d || f0 = f(x0,v0,t0), f0 = dtf(x(t),v(t),t)|| t=t0

(x0,v0)'-->(x1,v1)'-->(x2,v2) sei gegeben. Dann folgt durch Iteration:

¨x = -x

x = c, v = 1, x(t) = sint 0 0

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