2.7 Mathematischer Einschub: Vektoren

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2.7 Mathematischer Einschub: Vektoren

gerichtete Größe, Betrag+Richtung:
Ortsvektor (Anfang festgelegt)
Verschiebungen:

= + = + (kommutativ)
Mathematik: Vektorraum
Physik: = (A₁,A₂,A₃) + Invarianz gegen Drehungen

2.7.1 Skalarprodukt

ao b = |a|.|b |.cosf

|a|= L¨ange von a

a.a = a2 = a2

2.7.2 Vektorprodukt

a × b = a.b .sinf .e _L auf a,b

|a × b| = Fl¨acheninhalt des Parallelogramms a,b

2.7.3 Komponenten

a = (ax,ay,az) = ax.ex+ay.ey+az.ez ,ei Einheitsvektor in x,y,t _L aufeinander

a.b = axbx + ayby + azbz (Orthonormal- Basis)

a× b = (a2b3- a3b2,a3b1- a1b3,a1b2- a2b1) (zyklisch vertauscht)

Gerade durch 2 Punkte a, b:

r = a +(b- a) .t

Ebene durch 3 Punkte a, b, c :

r = a + (b -a)m + (c - a)c

, sind die sogenannten Schar-Paramter.

r.n = c

(r- R) .n = 0

a x + a y+ a z = b 1 2 3

| ^. ( × )| ist das Volumen des Spats, welcher von den drei Vektoren , und aufgespannt wird.

[ ] (r- a). (c- a)× (b- a) = 0 -' r

Geschwindigkeit:

Dr- v = Dlitm'-->0 Dt

vx(t) = ˙x(t) = dx(t)-= lim x(t+-Dt)---x(t) dt Dt'-->0 Dt

Beschleunigung:

( ) a(t) = ˙v(t) = dvx(t), dvy(t), dvz(t) dt dt dt

Beispiel: Kreisbewegung

2p f = w.t,w = T--

T /\ = Umlaufszeit, w /\ = Winkelgeschwindigkeit

( ) R .cos(wt) r = R.sin(wt) 0

( -Rw sin(wt)) v = Rw cos(wt) 0

r.v = -R2w sin(wt)cos(wt) +r2w sin(wt)cos(wt) = 0

==> r _L v

a = -w2r

Spirale:

(R cos(wt)) r(t) = R sin(wt) v0 .t

Ganghöhe=const.

EnergieÄnderungen:

DE = v.Dp + (--F)Dx +... Bew.- Energie- A¨nd. Lage- Energie-¨ And. (Arbeit)

Für ein Teilchen (Körper), 1 Dimension:

Vorsicht:

kinetische Energie: E_kin = mv² =
v, F keine Konstanten, sondern im allgemeinen Funktionen von p, x $v = v(p,x),F = F (p,x)$

$(p /= mv)$

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