5.8 Dynamische Systeme, Klassifikation der Bahnen im Phasenraum

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5.8 Dynamische Systeme, Klassifikation der Bahnen im Phasenraum

Wir haben ein eindimensionales mechanisches System, das aus einem Teilchen besteht:

Zustand $/\ =$ (x,v) oder (x,p):
Freies Teilchen:

Ungedämpfter harmonischer Oszillator:
$x = A cos(wt - f)$

$y = Aw sin(wt- f)$
Gedämpfter harmonischer Oszillator: Ursprung ist ATTRAKTOR

$¨x- 2gx˙(1 - x2) + w20x = 0$

$˙x = v$

$˙v = 2gv(1- x2)- w x 0$

Bahnen im Phasenraum schneiden sich NICHT! Wir betrachten ein allgemeines dynamisches System:

˙x (t) = f (x),x = (x ,x ,...,x ) k k 1 2 n

Bei f handelt es sich um einen n-dimensionalen Vektor. Im Gegensatz zur Mechanik darf n auch 1, 3, 5 sein. (Mechanik: n = 2 (x₁ = x,x₂ = v) etc., n = 4)

Logistische Gleichung für n = 1: $P˙(t) = (a - bP )P$

$P /\ = Verknappung von Ressourcen$
Räuber-Beute n = 2: $B˙ = (a - bR)B$

$R˙= (-g + dB)R$
Hier haben wir nun zwei nicht linear gekoppelte Differentialgleichungen.
- Stationäre Punkte: = = 0
- Kleine Abweichung: B = B₀ + B,R = R₀ + R, B, R sei klein

5.8.1 2 gekoppelte Oszillatoren n = 4

1( ) 1 H = - p21 +p22 + -(x21 + x22)+ V(x1,x2) 2 2

V (x1,x2) = x2x2 - 1x3 1 3 2

Poincaré-Schnitt______________ des 4d-Raumes mit x₂ = 0 und p₂ > 0

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