Zist eine Zwangskraft, die für g(x,y) = 0 gilt. Die Zwangskraft
Z steht
senkrecht auf g(
,t) = 0. Also gilt:
Für unser Pendel erhalten wir:
ist der Lagrange-Parameter. Damit gilt für N Teilchen (j = 1, 2, ..., N) und
R Zwangsbedingungen g
= 0 die Lagrange-Gleichung
1.Art.
Es handelt sich um 3N + R Gleichungen für j(t),
(t).
Diese Differentialgleichungen sind leider nicht analytisch zu lösen. Es wäre besser, sogenannte generalisierte Koordinaten einzuführen:
f ist die Zahl der Freiheitsgrade.
Für das mathematische Pendel gilt:
Die Zwangsbedingung ist identisch erfüllt:
Wähle qk so, daß die Zwangsbedingungen identisch erfüllt sind, d.h., daß die qk unabhängig voneinander sind. Die Lagrangegleichungen werden so umgeformt, daß sie besser handhabbar sind. Man will also die Zwangskräfte „loswerden“!
Sofern die Zwangsbedingungen identisch erfüllt sind, gilt:
zeigt in Richtung der Zwangskraft und ist senkrecht zur
qk-Koordinatenlinie. Projektion auf die Tangential-Fläche der Nebenbedingung
(genauer: auf die qk-Koordinatenlinie)