1.4 Lagrange-Gleichung 2.Art

|-----------------------------| |3 sum N 3 sum N | | m¨xj@xj(q,t)= Fj@xj(q,t)| |j=1 @qk j=1 @qk | -------------------------------

Beispiel:

Generalisierte Koordinate: q =_ f (nur k = 1)

@x- x1 =_ x,@f = l.cosf

@y x2 =_ y,@f-= - l.sinf

j = 1,2

mx¨(l.cosf)+ my¨(- lsinf) = 0.(...)+ mg (-lsin f)

d x˙(t) = dtl.sinf(t) = l.cosf .˙f

¨x(t) = -l.(sinf) .˙f2 + l.(cosf).¨f

y˙(t) = -l.sinf .˙f

¨y(t) = -l.(cosf).˙f2- l.(sin f).¨f

Eingesetzt in die Differentialgleichung ergibt:

ml2f¨= - mlgsin f

Die Masse fällt heraus, da schwere und träge Masse gleich sind.

|----g--------| |¨f+ -sin f = 0| -----l---------

Wie geht die Reise weiter (WARUM überhaupt?)

Die Lagrange-Funktion L

genügt der Differentialgleichung:

|----------------------| |d-@L(q,v,t)|| @L- | |dt @v || = @q | ------------v=˙q(t)-------

Nach dem Standard-Modell gilt:

|-------------| L = Ekin- Epot| ---------------

Hamilton’sches Extremalprinzip der Mechanik:

Für die Wirkung erhalten wir:

|-------------------------| | integral tb | |S[q(t)] = L (q(t),v(t),t) dt| | ta | --------------------------

Die Wirkung S nimmt ein Minimum für die wahre Bahn (feste Anfangs- und Endpunkte) an.

S sei für q(t) stationär (Ableitung von S). Oft ist S minimal für q = q(t), das heißt S < S für alle q(t), die A und B verbinden.

1.4.1 Wirkungsprinzip und Bewegungsgleichungen

Die Natur liebt Extremalprinzipien wie beispielsweise das Fermat’sche Prinzip.

Brechungsgesetz:

sina n ----= -2 sinb n1

l1- l2-- TAB = cn0+ cn0 1 2

Wenn die Zeit minimal wird, ist das Brechungsgesetz erfüllt.

Bezeichnungen:

/\ S [q(t)] : Zahl = FUNKTIONAL Argument

q(t) ist Variation von q(t), „kleine“ Funktion $q(t) = q(t)+ dq(t)$
q(t) ist der Name der kleinen Größe, nicht das Differential der Funktion q(t).
(Meier M eier)

Wie folgt aus dem Wirkungsprinzip die Bewegungsgleichung?

Es sei

q(t) =

(t), wobei

„klein“ ist.

ist eine feste Funktion, die aber beliebig wählbar ist. Weiterhin muß

(t_a) =

(t_b) = 0 gelten.

Einsetzen in S[q(t)] und Taylor-Entwicklung nach :

' Extremum von S(e) : S (e) = 0

| | (- -˙ ) (- ˙ ) @L(q,v,t)|| @L(q,v,t)|| L q+ ej,q + ej˙,t = L q,q,t + @q |q=q.ej+ @v |q=q-.e˙j. v=˙q v= ˙q

˙q kommt in 2 verschiedenen Bedeutungen vor:

Name der Variablen Geschwindigkeit (zu q, , ...)
Rechenoperation auf q(t) angewandt: =
Aus y = f(x) folge y = y(x).

- integral tb[@L(q, ˙q,t) @L(q, ˙q,t) ] S[q(t)] = S [q(t)]+ e --------j(t) + --------˙j(t) dt+ O(e2) ta @q @˙q

Unser Ziel ist die Stationarität von S[q(t)]. Dies erfordert S'() = 0, womit also gelten muß:

integral [...] dt = 0

(T) sei beliebig! Aus (t) folgt dann (t) durch partielle Integration:

integral @L @L ||tb t integral b[d @L(q,q˙,t)] -@˙q ˙j(t)dt = @-˙q .j(t)|| - dt---@-˙q--- .j(t)dt ---- --ta ta =0

t integral b[ ] S [q(t)] = S [q(t)]+e @L-- -d@L- j(t)dt+ ... @q dt @˙q ta---------- ----------- !=0 f¨ur alle j(t)

Der Integrand muß 0 sein, da (t) eine beliebige Funktion ist.

|----------------------| |d @L(q, ˙q,t) @L(q, ˙q,t)| dt ---@˙q---= ---@q----| ------------------------

Dies ist gerade die Lagrange-Gleichung 2.Art.

Harmonischer Oszillator:

|-----------------------------| | m 2 D 2 | |L(x, ˙x,t) = 2-˙x --2 x + x.f(t) ------------------------------

d-(m- .2x˙)= - D-.2x + f(t) dt 2 2

m¨x + Dx = 0+ f(t)

Damit erhalten wir folgende Bewegungsgleichung:

|--------------| mx¨+-Dx--=-f(t)-|

Lagrange-Gleichung (2.Art):

|----------------------| |d @L(q, ˙q,t) @L(q, ˙q,t)| dt --@q˙k---= --@qk----| ------------------------

Die Voraussetzung ist, daß alle q_k’s unabhängig sind, daß als keine Zwangsbedingungen zwischen den q_k’s herrschen.

Beispiel:

Wir betrachten ein ebenes mathematisches Pendel mit frei gleitendem Aufhängepunkt mit Masse. Es gibt dann die Freiheitsgrade 1(m₁) + 1(m₂). Wir führen generalisierte Koordinaten ein:

q1 /\ = u,q2 /\ = f

x = l.sinf +u

y = - l.cosf

Wir haben dann folgende Lagrange-Funktion:

|-------------------------m------m--(------)----------------| |L(u, ˙u,f,f˙) = Ekin - Epot =-1˙u2 +--2 x˙2 + ˙y2 - m2g .(- lcos f)| ---------------------------2------2--------------------------

Wir differenzieren die Koordinaten nach der Zeit:

˙x = lcos f.f˙+ ˙u, ˙y = - lsinf .˙f

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x˙+ ˙y = (˙u+l.(cosf).˙f)+(l sinf .˙f) = u˙+l .(cos f).˙f +2l˙ucosf.˙f+l .(sin f).f˙

Durch Einsetzen in die Lagrange-Funktion erhalten wir:

m1 2 m2 2 m2 2 2 L = -2-˙u + 2-u˙ + -2-lf˙ +m2l cosf.f˙.˙u +m2gl .cosf

Für u gilt:

|--[(----------)------------]----| -d m1-+-m2- | dt 2 2˙u + m2lcosff˙ = 0 | ----------------------------------

Des weiteren folgt für :

|------------------------------------------------| |d [m2 2 ] | dt -2-l2f˙+ m2lcosf˙u = m2l(-sinf)f˙u˙- m2glsin f | --------------------------------------------------

(m₁ + m₂) + m₂l ^. (cos) ^. =const.
Es handelt sich um eine Erhaltungsgröße!
- + sin -² ^. sincos = 0 mit aus (1), Konstante=0 gesetzt

Für m₁ erhalten wir das übliche mathematische Pendel:

|-------------| |¨f+ gsin f = 0| -----l---------

Mit m₁0 haben wir folgendes Resultat:

|---(--2------------------2)---g--------2------------| f¨- cos f.¨f + 2cosfsinff˙ + l sinf - ˙f sin fcosf = 0 -----------------------------------------------------

|---------1--------------g--------| sin2f .¨f- - .sin(2f).f˙2 + -sinf = 0| ----------2--------------l---------

Zwangsbedingungen Newtongleichung --------------> Lagrange- Gleichung 1.+2.Art --> L(q, ˙q,t)

Allgemeine Eigenschaften der Lagrange-Funktion:

L = L + (q,t)
(q,t) sei beliebige Funktion der Koordinaten und Zeit, die nicht von der Geschwindigkeit abhängig ist. $integral tb d ~S = S + --f(...)dt ta dt ---- ---- const.(ta,tb)$
(q,t) heißt „Eichfunktion“.
L(q₁,...,q_f,₁,...,_f,t) hängt nicht von einer bestimmten Koordinate q_k (k fester Index) ab. $d-@L- = @L- != 0 dt@q˙k @qk$

$-@L qk ist zyklisch-==> @q˙k ist zeitlich konstant (Erhaltungsgr¨oße).$
Ziel der Lagrangetheorie: Wähle (wenn möglich) zyklische generalisierte Koordinaten!
L(q₁,...,q_f,₁,...,_f) hängt nicht mehr von t ab. Daraus folgt: $sum @L @˙q-˙qk- L = const. k k$
Lagrange-Gleichungen 2.Art $d-@L- = @L- fur k = 1,2,...,f dt@q˙k @qk ¨$
p_k ist der verallgemeinerte Impuls, f_k die verallgemeinerte Kraft.
$Vorsicht:p /= const..˙q -------- k k$

$dpk = fk dt$
Konsequenzen aus dem Relativitätsprinzip auf Lagrange-Funktion:
Ein freies Teilchen: Wir fordern ein Inertialsystem:
- Alle Zeitpunkte sind gleichwertig (wenn von außen keine zeitabhängigen Kräfte einwirken). $L(x, ˙x,t) ==> L(x, ˙x) ist unabh¨angig von t.$
- Alle Raumpunkte sind gleichberechtigt. $L(x,x˙) ==> L(˙x) ist vom Ort unabh¨angig.$
- Alle Raumrichtungen sind gleichberechtigt. $( 2) ( ) L(x˙) ==> L (˙x) besser als L |x˙|$
Bemerkung:
Es darf eigentlich nicht auf die Unabhängigkeit von (2) geschlossen werden, sondern höchstens auf die Invarianzbedingung des erweiterten Noethertheorems. Ein Gegenbeispiel ist: $@L- Homogenes Kraftfeld <==> Alle Raumpunkte gleichberechtigt, aber@x /= 0$

Relativitätsprinzip:
Wir haben zwei Inertialsysteme, die sich mit relativer Geschwindigkeit ₀ bewegen. $v '--> v+ v (+ oder -?) 0$

$( ) ( ) ~L = L (v+ v0)2 /\ = L v2 (v = ˙x)$
Wenn das Relativitätsprinzip für die Lagrange-Funktion gelten soll, muß folgendes erfüllt sein:
$( ) ( ) d L (v + v0)2 = L v2 + dtf(r,t)$
f sei hierbei eine unbekannte Funktion, die vom Ort und der Zeit t abhängt. Allgemein gilt nun für deren Zeitableitung:
$d-f (r,t) = @f-.@x-+ @f-.dy-+ @f-.dz-+ @f- =_ (grad f).v + @f dt @x @t @y dt @z dt @t @t$
Wir betrachten nun die Taylor-Entwicklung von L:
$( ) [ ] ~L v2 + 2vv + v2 = L(v2)+ -@L .e+ ...= L (v2)+ -@L--.2v v+ ... --0 --0 @v2 -@(v2) ---0 kleine Gr¨oß e e darf nicht von v abh¨angen$
Wegen f(,t) = (gradf) ^. + muß 2₀ linear in sein und damit ^. 2₀ unabhängig von . Damit hängt L linear von ² ab:
$|---------------| L (v2)= const..v2| | -m- | ----------2------$

„Blick über den Zaun“: Quantenmechanik

In der Quantenmechanik hat man eine sogenannte Wellenfunktion:

sum Y(x,t) = e-iS[xh(t)] alle Pfade x(t)

1.4.2 Mathematischer Einschub: Extremalproblem

Funktion einer Variablen: y = f(x)
Aus f'(x) = 0 folgt durch Auflösen x₀ als Extremwert. Es handelt sich dann um ein Minimum, falls f''(x₀) > 0 bzw. um ein Maximum, falls f''(x₀) < 0 ist. Im Falle f''(x₀) = 0 haben wir einen eventuellen Wendepunkt.
Beispiel:
Wir betrachten die Funktion y = x⁴. Für die Ableitungen der Funktion gilt: $y'= 4x3$

$y''= 12x2$

$y'''= 24x$

$(4) y = 24$
Zwei unabhängige Veränderliche x,y $z = f(x,y)$

Für die Extremwerte, muß folgendes gelten:
$@f (x,y) @f(x,y) ---@x-- = 0 und --@y---= 0 -- -- -- -- fx fy$
x₀, y₀ heißt dann Extremalpunkt (stationärer Punkt) von f(x,y). Wir untersuchen F(s) = f(x₀ + scos,y₀ + ssin) mit festem :
$F'(0) = fx(x0,y0).cosa +fy(x0,y0)sina$

$F''(0) = fxx .cos2a+ fyy .sin2a +fxy .cosa .sin a+ fyx .sina .cosa$

$F''(0) = fxx(x0,y0) .cos2a + fyy .sin2a + 2fxysin acosa$

$|--------------------------------------------| | '' { > 0 A a Minimum fxx > 0 fyy > 0 | F (0) = | ----------<-0- A a-Maximum---fxx-<-0--fyy-<-0--|$
Andernfalls handelt es sich um einen Sattelpunkt.
f_xx, f_yy, f_xy sei bei (x₀,y₀) bekannt. f_xx ^. f_yy - f_xy² > 0 gilt sowohl für Minimum als auch Maximum!
Beispiel:
Betrachten wir folgende Funktion von x und y: $z = f(x,y) = e-(x2+y2)$

$-(x2+y2) fx = e .(- 2x)$

$fxx = e-(x2+y2) .((- 2x)2 - 2) x--=-0,-y=-0---> -2$

$-(x2+y2) fx = e .(- 2y)$

$f = e- (x2+y2) .((- 2y)2 -2) x--=-0,-y=-0---> -2 xx$

$2 2 fxy = (-2x).(-2y) .e- (x +x) = 0$

$f .f - f2 = (-2)2- 0 = 4 > 0 xx yy xy$

Extremwertaufgabe mit Nebenbedingung:
$z = f(x,y) mit g(x,y) = 0$

$Beachte:-x,y sind nicht unabha¨ngig.$
- y = y(x) aus Nebenbedingung und F(x) = f nach a.)
- Lagrange-Parameter
  Man betrachtet eine Funktion, die von 3 Variablen abhängig ist: $F(x,y,c)= f(x,y)+ cg(x,y) ------ unabh¨angig$

Extremal- und Variationsproblem:

Funktion zweier unabhängiger Variablen z = f(x,y)

Stationärer Punkt x₀, y₀: = 0, = 0
Diskussion der stationären Punkte: $2 Minimum: fxx > 0,fyy > 0,fxx .fyy- fxy > 0$

$Maximum: fxx < 0,fyy < 0,fxx .fyy - fx2y > 0$
Wenn die Matrix indefinit ist, handelt es sich um einen Sattelpunkt. Bei Semi-Definitheit sind weitere Untersuchungen notwendig!

| | 2 ||fxx fxy|| Beweisskizze zu fxxfyy- fxy = |fxy fyy| > 0

F(u) = f(x0 +u cosa,y0 + usina),a fest

Viel einfacher ist folgende Betrachtung:

F(u) = f(x0 + u,y0 + mu), m = tana y = m .x

'' 2 F (u)| u=0 = fxx(x0,y0).1+ fxy .m .2 + fyy .m > 0

Durch Differentiation nach m erhalten wir 2f_xy + 2m₀f_xy 0. Anschließend setzen wir m₀ = - in F''(0) ein und fordern F''(0) > 0. Für N unabhängige Variablen f(x₁, x₂, ..., x_N) findet man die stationären Punkte durch:

|-----------------------| | @f | |@xk-= 0 A k = 1, 2, ..., N ------------------------

Funktion x(t) als „Variable“

Funktion f(x₁, ..., x_N) f[x(t)] (Funktional)

Beispiel:

t integral b d f [x(t)] = L(x(t), ˙x(t),t)dt mit ˙x(t) = dtx(t) ta

Die stationären „Punkte“ findet man dann durch Lösen von:

|-----------------| |d-@L(x,x˙,t)= @L-| -dt---@-˙x------@x-|

1.4.3 Extremalaufgabe mit Nebenbedingung

Beispiel:

Es sei z = f(x,y) mit g(x,y) = 0 als Nebenbedingung gegeben. Es gibt zwei Arten von Nebenbedingungen:

Holonome Bedingung, Gleichung für Koordinaten
Nicht holonome Bedingung $2 2 2 x + y < l oder Differentialgleichung$

Vorgehen für Nebenbedingungen:

Eliminiere y = y(x) aus Nebenbedingungen f(x,y(x)) = F(x) eine unabhängige Variable
„Generalisierte Koordinate: x = x(), y = y(), so daß Nebenbedingungen erfüllt sind $F(t) = f(x(t),y(t))$
Lagrange-Parameter $F (x,y,c) := f(x,y)+ cg(x,y) unabh¨angig$

Beweisskizze:

f(x(),y()) = f_x ^. + f_y 0 = ^.
g(x(),y()) = 0 = gradg(x,y) ^.
Also ist grad(f) =const. ^. grad(g) für stationäre Punkte, d.h. man findet die stationären Punkte mit:
$|---(----------------)----| grad (f(x,y)+ cg(x,y)) != 0| | ------- ------- | | Defifn(xie,rye)+ Fc(gx(,yx,c,y))= | ---------------------------$

Beispiel:

Wir betrachten Die Funktion z = f(x,y) = x² + y² mit der Nebenbedingung g(x,y) = xy - 1 = 0 und berechnen die stationären Punkte:

1 y =-- x

F = x2 + y2 + c(xy - 1)

! Fx = 2x + cy= 0

Fy = 2y + cx=!0

Fc = xy -1 = 0

Mit x = y, was man aus den ersten beiden Gleichungen erhält, folgt durch Einsetzen in F:

x2- 1 = 0

Daraus erhält man dann folgende Lösungen des Problems (Variation mit holomorpher Nebenbedingung):

|--------------------| x = y = 1 \/ x = y = -1 ----------------------

Nun wieder zurück zur Physik! Betrachten wir die Langrange-Funktion:

L = m-v2 -V (r,t),r unabh¨angig 2

Wir haben die Nebenbedingung g(x,y,z,t) = g(,t) = 0.

integral tb integral ˙ S[r(t)] = L(r,r,t)dt + c(t)g(x(t),y(t),z(t),t) dt ta

Für die Extrema folgt dann:

|----------------------------| -d @L-= @L-+ c(t)@g(x,y,z,t) | dt-@vk---@xk---------@xk------

Dies ist die Lagrange-Gleichung 1.Art (Varitation mit isoperimetrischer Nebenbedingung).

Kettenlinie:

Minimum der potentiellen Energie

Optimale Rutschbahn (Brachystochrone):

Wir suchen die kürzeste Rutschzeit:

Geschwindigkeit: $V~ --------- ds ds 1 + y'2(x) v = dt dt =-v = --- V~ 2gx---dx$

$1mv2 = mgx 2$
Bogenlänge: $V~ ---------- ds = 1 + [f'(x)]2dx$
Rutschzeit: $integral x2 V~ -------- T = V~ 1- V~ 1 1 + y'2(x)dx 2g x 0$
Analogie zur Mechanik: $x '--> t$

$' y '--> ˙x,v$