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3.1 Integrale der Bewegung von Teilchen im Zentralfeld

H, L, Lenz-Runge, Drehimpuls in z-Richtung

H, L2, Lz, {H,L2},{H, Lz},{L2,Lz}= 0 |, |, |, } P1, P2, P3 mit {Pi,Pk}= 0 freies Teilchen in P,Q Q1, Q2, Q3 finden als kanonische Orte

Aber wie findet man die Q’s?

  • Teilchen im homogenen Magnetfeld
    ( ) 0 B = 0 B0

    Die Newton-Gleichung lautet, wobei e die Ladung des Teilchens ist:

    |-------------| -mr¨=-e.v-×-B-|

    In Theoretischer Physik A hatten wir:

    |---------------------| -x-=-Rcos(wCt--f)+-x0-|

    |---------------------| y-=--R-sin(wCt---f)+-y0-

    |z =-v-t+-z-| -----z0----0-

    Und außerdem für die Zyklotron-Frequenz:

    |---------| | eB0 | |wC = -m--| ----------

    PIC

    Erhaltungsgrößen:
    (Vergleiche Skript Theorie A, Seite 52)

    Die Lagrange-Funktion lautet:

    |---------------------| | ˙ m-˙2 ˙| L(r,r) =-2-r-+-eA(r).r-

    Wir haben beispielsweise:

    ( ) ( ) 0 0 A(r) = B0x ,B = 0 0 B0

    Dann ist A(r) das sogenannte „Vektorpotential“. Wir notieren uns außerdem die Hamilton-Funktion:

    |---------------------| | 1 ( )2 | |H(p,r) = 2m p- eA | ----------------------

    p und r sind kanonische Variablen.

    H(px,py,pz,x,y,z) = -1-(px- eAx)2 + 1--(py - eAy)2 + ... 2m 2m

    @H-- -1- ˙x = @px = 2m (px- eAx).2

    x˙= px--eAx- m } y˙= py--eAy- Hier ist p /= m .r˙! pz-meAz z˙= ---m----

    Für den kinetischen Impuls gilt jedoch:

    |---------| |pkin = mr˙| ----------

    p˙x = -@H- = - -1-(px- eAx(x,y,z)) .2.(-e).@A(x,-y,z) - -1-(py- eAy).2 .(- e).@Ay(x,y,z)+ @x 2m @x 2m @x - -1-(pz- eAz).2 .(- e).@Az(x,y,z) 2m @x
    		(3.2)
    [ ] [ ] d- px--eAx- ˙px -e-d d- mx¨ = m dt m = m m - m dtAx = p˙x - edtAx = px- eAx @Ax py- eAy @Ay pz - eAz @Az d = ---m----.(+e).-@x- + ---m----.(+e).-@x-+ ---m----.(+e) .@x---edtAx(x,y,z) ----------------------------- ----------------------------- ˙px
    		(3.3)
    Des weiteren gilt:
    [ ] -e-dAx(x,y,z) = -e @Ax-dx-+ @Ax-dy-+ @Ax-dz- dt @x dt @y dt @z dt

    mx¨= ey˙Bz - e˙zBy

    |----(--------------)---------| |B = @Az-- @Ay-,... = \~/ × A| | @y @z | ------------------------------

    mr¨= e.r˙× B

    • Nach Newton erhalten wir:

    |-------------------(---)-| | 0 | |mr¨= e˙r× B mit B = 0 | | B0 | --------------------------

    x = R cos(wCt - f)+ x0 vx = - RwC sin(wCt- f) y = - R sin(wCt- f)+ y0 vy = - RwC cos(wCt - f) z = vz0t+ z0 vz = vz0

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