4.7 Elektromagnetische Wellen im Vakuum

Lösung der Maxwell-Gleichungen ohne Quellen:
Zuerst wollen wir betrachten = 0 und = . Ausgangspunkt ist wieder das System der Maxwell-Gleichungen:
$\~/ .E = 0$

$\~/ .B = 0$

$@B \~/ × E + @t-= 0$

$\~/ × B - 1-@E-= 0 c2@t$
Wir wollen nun eine partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung, also die Wellengleichung, erhalten. Wir bilden jeweils die Rotation der beiden letzten Gleichungen:
$( ) @B- \~/ × \~/ × E + \~/ × @t = 0$
Nun folgt wieder durch Auflösen des doppelten Kreuzproduktes:
$\~/ ( \~/ .E) - \~/ 2E + @-1-@E = 0 --- --- @tc2@t 0$

$------------------ | 1 @2 | | \~/ 2E --2--2E = 0 | -------c-@t-------|$
Wir haben hier die Wellengleichung für erhalten. Analog folgt für :
$|-----------------| | 2 -1-@2 | - \~/ -B---c2@t2B-=-0|$
Allgemeine Diskussion der Wellengleichung:
Jede Komponente von und erfüllt die Wellengleichung:
$(----2------)----------| | 1-@--- \~/ 2 f(x,t) = 0| --c2@t2-----------------$
Die Lösung kann man aus Funktionen der folgenden Form zusammensetzen:
$f(x,t) = f(nx- ct)$
habe hier eine beliebige Richtung und es gelte ² = 1. Wir wollen beweisen, daß f(,t) die Wellengleichung erfüllt. Es gilt durch Anwendung des Laplace-Operators:
$\~/ 2f (nx- ct) = \~/ (nf'(nx - ct)) = n2 f''(nx -ct) = f''(nx - ct) 1$
Durch Bildung der zweiten Ableitung nach der Zeit t folgt:
$2 @--f(nx- ct) = (-c)2f''(nx- ct) @t2$
Somit ergibt sich:
$( ) -1-@2 - \~/ 2 f = f ''- f''= 0 c2@t2$
Es sei also eine Welle in Richtung mit der Geschwindigkeit c. In einer Dimension ergibt sich:
$f1(x- ct) + f2(- x- ct)$
Spezielle Lösungen sind „ebene Wellen“ folgender Form:
$( ) A .exp -iwt+ ikx$
Dabei gibt einige wohldefinierte Zusammenhänge:
$|w|= |k| c,n = ck= k-- w |k|$

$w-- n = 2p$
sei die Ausbreitungsrichtung und die Frequenz. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit c ist unabhängig von bzw. . Eine allgemeine Lösung der Wellengleichung kann als Überlagerung von ebenen Wellen dargestellt werden. Dazu müssen wir uns kurz mit dem Problem der Fourier-Zerlegung beschäftigen.

4.7.1 Mathematischer Einschub:Fourier-Zerlegung, Fourier-Integral

Ein Wellenzug beliebiger Form soll als Überlagerung von e^-it+kx dargestellt werden. Wir erinnern uns an dieser Stelle an Kapitel 3:Fourier-Reihen. Jede Funktion f(x) im Intervall

läßt sich darstellen als Fourier-Reihe:

|------------ sum oo ------(------)--------(------)-| |f(x) = 1 A0 + Am cos 2pmx- + Bm sin 2pmx- | | 2 m=1 a a | ------------------------------------------------

|----------------------------| | + integral a2 ( ) | | 2- 2pmx- | Am = a f(x)cos a dx | --------a2--------------------

|---------------------------| | + integral a2 ( ) | B = 2- f(x)sin 2pmx- dx| | m a a a | ---------2-------------------

Das System ist orthonormiert und vollständig _________.

Komplexe Darstellung:

U (x) = 1 V~ -ei(2pmax),m = 0,±1,± 2,... m a

Eine beliebige komplexe Funktion in kann nun dargestellt werden als:

|-------------------------------------------------| | sum oo 1 sum 2pmx- | f (x) = Um(x)Am = V~ -- Amei( a ) mit Am (- C -------m=- oo -------------a-m-----------------------

|-------------------------------------------| | + integral a2 + integral a2 | A = dxU *(x)f(x) = V~ 1 dx'e- i(2pamx)f(x')| | m a m a a | -------2-------------------2-----------------

Für die U_m gilt:

|---------------------| |+ integral a2 | | dx U*(x)Un(x) = dnm| | a m | --2--------------------

Das System ist also orthonormiert. Wir Vollständigkeit sei folgendermaßen dargestellt:

| sum -----------------------| | Um*(x)Um(x') = d(x - x') | --m-----------------------|

Die Wellenzahlen nehmen nur diskrete Werte an. Mit wachsendem a liegen diese Werte immer dichter. Das Verhalten für a ist:

2p -a-m '--> k

k nehme kontinuierliche Werte an.

sum integral oo a integral V~ -a- '--> dm = --- dk, --Am '--> A(k) m - oo 2p 2p

Und somit gilt:

integral V~ --- f(x) = dk-a-1 V~ -- 2pA(k)eikx 2p a a

Erfreulicherweise kürzt sich a raus. Dann folgt:

|---------------------| | oo integral dk | |f(x) = V~ --A(k)eikx | -------- oo --2p--------|

Mittels folgender Umkehrung kann A(k) berechnet werden:

|-----------------------| | oo integral ' | |A(k) = d V~ x-f (x')e-ikx'| | - oo 2p | -------------------------

Vollständigkeit:

integral ---------------------| | dk-ik(x-x') ' | | 2pe = d(x - x) | ------------------------

Wir vertauschen x und k:

|----------------------| integral dx ix(k-k') ' | | 2pe = d(k - k) | ------------------------

Dies entspricht der Orthonormiertheit. Wir behaupten nun:

Die Lösung der Wellengleichung kann als Überlagerung von ebenen Wellen dargestellt werden.

\text{[math]}

u(t,) sei eine Lösung der Wellengleichung.

( 2 ) 1-@--- \~/ 2 u(t,x) = 0 c2@t2

u(t,) bei fester Zeit kann als Fouriertransformierte geschrieben werden:

integral d3k u(t,x) = ---3-~u(t,k)eikx (2p)2

( ) integral ( ) -1-@2 2 -d3k- 1-@2- 2 ikx 0 = c2@t2 - \~/ u(t,x) = (2p)32 c2@t2~u(t,k)+ k ~u(t,k) e

Damit folgt nun:

integral 3 ikx [1 @2 2 ] d ke c2@t2~u(t,k) +k u~(t,k) = 0

Somit muß der Ausdruck in der Klammer 0 ergeben:

1-@2- 2 c2@t2~u(t,k)+ k ~u(t,k) = 0

Dann erhalten wir folgende gewöhnliche Differentialgleichung:

2 -12-@2~u(t,k)+ k2~u(t,k) = 0,w = |k |.c c @t

@2- 2 @t2 ~u(t,k)+ w ~u(t,k) = 0

Die Lösungen dieser Differentialgleichung sind einfach trigonometrische Funktionen, die man auch als komplexe Exponentialfunktion schreiben kann:

|-------------------------| -~u(t,k) =-a(k)eiwt +-b(k)e-iwt

Eine allgemeine Lösung des Problems ist somit:

|-----------------------------------------| | integral -d3k--( iwt+ikx -iwt+ikx)| |u(t,x) = V~ -3 a(k)e + b(k)e | ------------2p-----------------------------

Die Funktionen () und () sind hierbei beliebig.

Anfangswertproblem:

Es sei u(0,

) = a(

) und

_t=0 = b(

) gegeben. ã(

) und

(

) sind die Fouriertransformierten von a und b.

integral ~a(k) = -dx--e-ikxa(x) (2p)32

integral ~b(k) = -dx-3e-ikxb(x) (2p)2

u(0,x) ==> a(k) +b(k) = ~a(k)

@ || ( ) @tu(t,x)|| iw a(k)- b(k) = ~b(k) t=0

Somit folgt durch Auslösen:

|--------------| | -1 | 2a(k) = ~a+ iw~b | ---------------

|-------------| | 1-~| 2b(k) = ~a- iwb| ---------------

Spezielle Anfangsbedingung:

D(t,

) sei so gewählt, daß folgendes gelte:

|| D(0,x) = 0; @-D(t,x)|| = d(x) @t t=0

Dann folgt daraus:

~a(k) = 0

~ --1-- b(k) = (2p)32

integral ( ) D(t,x) = (2p)-3 dk 1--. eiwt+ikx - e- iwt+ikx mit w = |k|c 2iw

Wir wollen D nun auch noch explizit angeben:

|---------------[-(------)----(------)]-| | -1---1- |x-| |x|- | |D(t,x) = 4pc2|x| d t- c - d t+ c | -----------------------------------------

Dies sollte nachgerechnet werden! D ist nur auf dem Lichtkegel ungleich 0.

Die Wellengleichung ist:

( 1 @2 ) c2-@t2- \~/ 2 D = 0

Später werden wir die „retardierte“ Greensche Funktion benötigen:

|---------------------| |GR(t,x) =_ c2Q(t)D(t,x)| (*) ----------------------

G_R erfüllt die inhomogene Gleichung.

|(-1-@2-----)-----------------| | -2--2 - \~/ 2 GR(t,x) = d(t)d(x) --c-@t-------------------------

Dann gilt:

integral Y(x,t) = dt'dx'GR(t- t',x - x')f(x',t')

|---------------------------| |( 1 @2 ) | | -2 -2-- \~/ 2 Y(x,t) = f(x,t) --c--@t---------------------

Wir wollen nun die Gleichung (*) beweisen. Dazu betrachten wir zunächst G_R.

1-@--@ 2 @--@ @-[ @- ] -@ [ @- ] c2@t@tc Q(t)D(t,x) = @t@tQ(t)D(t,x) = @t d(t)D(t,x)+ Q(t)@tD(t,x) = @t D(0,x)+ Q(t)@tD(t,x) = @ [ ] = -- Q(t)D˙(t,x) = d(t)D ˙(t,x) + Q(t)D¨(t,x) = D˙(0, x)+ Q(t)D¨(t,x) = d(x) + Q(t)D¨(t,x) @t

(4.1)

Somit ergibt sich nun:

1 @2 1 @2 2 c2 @t2GR = d(t)d(x)+ Q(t)c2-@t2-cD(t,x)

- \~/ 2GR = - Q(t) \~/ 2c2D(t,x)

|------------------| ( ) |-1-@2 | 1-@2- 2 2 -c2@t2GR--=-d(t)d(x)-+ Q(t) c2@t2- \~/ c D(t,x) ----------- ----------- =0

Im folgenden wollen wir nun die Polarisation einer elektromagnetischen Welle besprechen. Damit wiederholen wir:

E(r,t) = E0(k)ei(kr- wt)

B(r,t) = B0(k)ei(kr-wt)

Wobei = ||^. c ist.

Die beiden Ansätze erfüllen die Wellengleichung.
Nur der Realteil ist physikalisch sinnvoll.
Außerdem muß $\~/$ = 0 und $\~/$ = 0 gelten.

\~/ .B = 0 liefert k .B = 0

\~/ .E = 0 liefert k .E = 0

Ferner folgt aus $\~/$ × = -.

ik× E = iwB

k× E = wB

Analog folgt:

k × B = --12wE c

Die Vektoren ₀, ₀, stehen paarweise senkrecht aufeinander. Man sollte nachrechnen, daß oder senkrecht zur Ausbreitungsrichtung stehen. Es handelt sich also um transversale Wellen.

4.7.2 Polarisation

Wähle spezielles Koordinatensystem:

e3||k

Falls ~₁ oder ~₂, ist linear polarisiert. Allgemein hat man:

E(r,t) = (E1 .e1 + E2 .e2) .ei(kr-wt)

₁ und ₂ sind dabei komplex.

Spezialfälle:

E₁ und E₂ haben gleiche Phase. $(| E1|.e1 +|E2|.e2) = n$
Dies ist eine lineare Polarisation längs .
|E₁| = |E₂| und relative Phase sei , also gilt: $±ip2 E2 = e E1 = ±iE1$

$E (r,t) = E (e ± ie)ei(kr-wt) ± 1 1 2$
Wir wählen o.B.d.A E reell, da hier nur der Realteil für die Physik relevant ist:
$( ) ( ( ) ( )) Re(E ±) = Re E1(e -1 ± ie2)ei(kr-wt) = E1 e1 .cos kr- wt ±e2 .sin kr - wt$
Wir betrachten die x- und y-Komponente:
$(ReE ±)x = E1 .cos(kr- wt)$

$(ReE ±)y = ± E1 .sin(kr- wt)$

$(Ex)2 + (Ey)2 = E2 1$
Es liegt somit eine zirkulare Polarisation vor. Zu (,t) = ^. eⁱ äquivalente Darstellung ist durch E(,t) = ^. eⁱ mit _± = ₁ ± i₂ gegeben. Bei beliebigen E₁, E₂, (E₊, E_-) ist eine elliptische Polarisation gegeben.

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