8.2 Abstrahlung von einer bewegten Punktladung

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8.2 Abstrahlung von einer bewegten Punktladung

Lienard-Wiechert-Potentiale und Felder
Es bewege sich eine Punktladung auf der Bahnkurve (t) mit der Geschwindigkeit (t) = (t) = (t) und der Beschleunigung (t) = (t). Für den Beobachter bei = 0 und t = 0 ist das von der Punktladung bei den retardierten Koordinaten erzeugte Potential relevant.

Für die Stromdichte folgt:
$j(x,t) = ev(t)d (x - r(t))$

$j0(x,t) = r(x,t).c = e.cd(x -r(t))$
Wir wollen nun A(t,) berechnen. Dazu verwenden wir wieder die retardierten Potentiale.
$integral Am(x,t) = m0 d3x'dt'GR (t- t',x - x')jm(x',t') = integral ( ) ( ) m0ec 3 ' '--1--- ' |x--x'| ' ' v = 4p d x dt|x -x'|d t -t - c bm(t)d(x - r(t)), wobei bm = 1,c (*)$ (8.1)
Hier sei Vorsicht geboten. ist kein Vierer-Vektor! Wir bezeichnen nun (t') = und R(t') = |(t')|. $|-------------------(-----------)-----| | integral d t- t'- R(t') | Am(x, t) = m0ec dt'----------c---bm(t')| ----------4p------------R(t')-----------$

Beispiel für retardierten Aufpunkt:

Der Beobachter sei bei

= 0, t = 0.

(t') = ₀ = Die Ladung ruhe: $|r(t')|= -t'c$

$|'----r0| t = - c-| ---------$
(t') = ₀ + ^. t' = + t'
Wir stellen die Forderung:
$|-------------| |t'= - r0 +-v0t' ---------c-----$

$|-------r0--| |t'= - --c-v0-| ------1+--c--$
Die Geschwindigkeit ist kleiner als c. Die Bahn stößt nur einmal durch den Rückwärtskegel.

Wir wollen nun die -Funktion in Gleichung (*) auswerten.

|--------------------------------------| | integral ( ' R(t')) ' | | m0ec 'd--t--t----c---bm(t)| ' ' |Am(t,x) = 4p dt R(t') |mit R(t) = x- r(t),R = |R| (**) ----------------------------------------

Wir erinnern uns dabei an die Eigenschaften der -Funktion:

integral dxg(x)d(x - a) = g(a)

Haben wir innerhalb der -Funktion eine stetige Funktion f(x), so folgt:

integral ----------------[---------]-----| | dxg(x)d(f(x)) = -'1--g(x) | -------------------|f-(x)|----f(x)=0-

Wir wenden diese Beziehung auf unser Beispiel an:

( ) -d- ' R(t')- 1-d- ' 1-d- ' ' R- dt' t- t- c = -1- cdt'R(t) = -1- cdt'|x- r(t )| = - 1+n.b(t), wobei n =_ R

Wir wollen dies beweisen:

d 2 d 2 dt'R = dt'R

2R-d-R = 2R .d-R = 2R (-v(t')) dt' dt'

Damit gilt dann:

|-------------------------| |d-- R- ' '| |dt'R = - R .v(t) = - n.v(t) ---------------------------

Damit folgt also:

|----------------------------------------------------------| | m0ec 1 ' ' ' | |Am(t,x) =-4p-kR(t')bm(t) mit k = 1 - n.b und R(t) = |x - r(t)| (***) ------------------------------------------------------------

t' ist die retardierte Zeit. Diese Gleichung läuft unter dem Namen Lienard-Wichert-Potential______________________. Wir haben hier die relativistische Verallgemeinerung der Formeln der Potentiale, die wir zu Anfang der Vorlesung diskutiert hatten. Aus Gleichung (***) können nun die Felder berechnet werden. Etwas bequemer geht dies auch mit Gleichung (**).

2 integral ' ( ') E = - \~/ f - @tA mit f(t,x) = m0ec -dt-d t- t'- R(t)- 4p R(t') c

integral ( ) m0ec -dt'-- ' R(t') ' A = 4p R(t')d t- t- c b(t)

Die -Abhängigkeit steckt in R = |-(t')|. Damit folgt für den Gradienten mittels Kettenregel:

( ) \~/ R = \~/ R -@-= n -@- @R @R

Die genaue Rechnung findet man im Jackson:

|----1------| |B = -n × E | -----c------|

|-------- | _ ------------------------------- _| --| | ( ) | | e n - b 1 (( ) ) | E = 4pe- -k3g2R2 + k3Rc-n × n - b × b˙ | | 0 |_ -- -- - - ------- ------- _| | | Geskcheiwtsifneldidg- Stfraehldl- Beschleunigungsfeld ret| -----------------------------------------------

Für das Geschwindigkeitsfeld folgt:

------------- |Abfall ~ R -2 -------------

Für das Strahlfeld folgt:

|----------1| -Abfall×-R----

E _L B_ L n

Spezialfälle entstehen für:

Der Grenzfall für nichtrelativistische Bewegung (||« 1) folgt mit:

k = 1 - nb ~~ 1

n -b ~~ n

Für das Beschleunigungsfeld folgt:

E ~~ -e---1--n× (n × ˙v)|| 4pe0Rc2 |ret

1 B = -n × E c

Für den Energiefluß (Poynting-Vektor) in der Strahlungszone folgt:

( ) -1- 1-- ( ) -1- 2 ( ) S = m0E × B = m0cE × n× E = m0c nE - E E-.n- =0

Für die abgestrahlte Leistung pro Raumwinkel folgt:

2 ( )2| ( )| 2 | ( )| dP-= R2n .S = e-- --1--- ||n× n × ˙v ||2 =-e- m0||n × n× ˙v ||2 d_O_ m0c 4pe0c2 4pc 4p ----- ----- ˙v2sin2h

ist hierbei der Winkel zwischen und . ist zur retardierten Zeit zu nehmen. Für die totale abgestrahlte Leistung folgt durch Integration über den gesamten Winkel:

integral -1- d_O_ sin2 h = 2 4p 3

|-------------| |P = 2 e2m0v˙2 | -----3-c-4p---|

Dies ist die sogenannte Larmor-Formel.

Übungsaufgabe: Oszillierende Ladung

x(t) = a cos(wt)

Es soll die Leistung P berechnet werden.

Übergang zum relativistischen Resultat (ohne Herleitung):

|------------[-------------]| | 2--e2- 6 ˙2 ( ˙)2 | |P = 34pe0cg b - b ×b | -----------------------------

Lineare Beschleunigung: $2 e2 P = ------g6b˙2 34pe0c$
Wir beschleunigen ein ruhendes Teilchen linear bis zu ultrarelativistischen Energien.

Vergleiche die bei der Beschleunigung abgestrahlte Energie mit der kinetischen Energie der Teilchen. Mit E = mc² und = resultiert:
$( ) dE dE 1 2 dg 1 mc d 1 3 dx-= -dtdx-dt = mc dt = bc = b--dt V~ ----2- = mcg ˙b 1- b$

$|---------------------| | 2 e2 1 (dE )2| P = ------3--2 --- | -----34pe0c-m----dx----$
Vergleiche P, also die Strahlungsleistung, mit der Energieänderung:
$dE dE dE -dt = dx-b .c ~~ dx-.c, da b ~~ 1$

$|---------------------| |-P-= 2-e2----1--dE- | |dEdt 34pe0(mc2)2 dx | ----------------------$
Für = 10¹⁴ ist die rechte Seite der Gleichung ist ungefähr gleich 1. Die abgestrahlte Leistung im Linearbeschleuniger ist somit völlig zu vernachlässigen.
Zirkulare Beschleunigung:
Mit , ² = ² und = ^.^.
₌₁ erhalten wir:
$|-----------| 2 e2 6[ 2 2 ] |2 e2 4 2 | P = 34pe0cg b˙ -b ˙b2 = |34pe0cg b˙ | ------------$
Für die Beschleunigung auf der Kreisbahn mit dem Radius gilt:
$v2- b2c2 ˙ b2c c ˙v = r = r ,b = r ~~ r$

$|--------2-----4--2-| |P = 2--e----E--- c-| -----34pe0c(mc2)4-r2-$
Es gelten also folgende Proportionalitäten:
$E4 /\ Abgestrahlte Leistung E4 Leistung ~-r2 , dE =------Umlauf-------~ -r-$
Numerisch gilt dann, wie durch Einsetzen der Zahlenwerte überprüft werden kann:
$4 dE [MeV] = 8,8.10-2 .(E-[GeV])- r[m]$
Speziell für das LEP folgt aus E = 100 und = 4 ^. 10³ m ein Wert von dE = 2,5GeV.

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