3.3 Randwertprobleme in der Elektrostatik

• Leiter:

  In einem Leiter befinden sich leicht bewegliche Ladungsträger (Elektronen). Falls im Innern des Leiters ein elektrisches Feld existiert, führt dies zu einem Strom von Elektronen bis zur Kompensation des Feldes durch Oberflächenladungen.

  

  Ein Leiter ist somit ein Gebiet ohne Feld (mit konstantem Potential).

  

  Es gibt einen Sprung in der Komponente senkrecht zur Oberfläche. Die parallel zur Oberfläche laufende Komponente ist stetig. Das im Innern des Leiters = ist, muß im Außenraum senkrecht zur Fläche stehen.

  

  Die Oberfläche des Leiters stellt somit eine Äquipotentialfläche dar. Ein Beispiel dafür ist der Hohlraum in einem Leiter:

  

  Es gilt somit =const. im inneren Rand des Leiters. Falls sich keine Ladungen im Inneren befinden, ist dies die einzige Lösung der Laplace-Gleichung: ist somit konstant im Innern, womit gilt = . Dies gilt im Innern auch bei Anwesenheit von Ladungen im Außenraum. Die Ladungsträger richten sich so aus, daß sie das Feld im Innern abschirmen. Dies ist also nichts anderes als ein Faradayscher Käfig. Zusammenfassend kann man also sagen: Das Potential im Leiter ist konstant und das elektrische Feld somit 0.

  

  Der Vektor des -Feldes steht senkrecht auf der Oberfläche. Die Flächenladungsdichte ist:

  

  Beim allgemeinen Problembereich handelt es sich um partielle Differentialgleichungen mit Randwertproblemen, hier speziell die Poisson-Gleichung:

  

  Bisher war es so, daß das Potential im Unendlichen gegen 0 ging. Im folgenden werden aber Probleme behandelt, die Randbedingungen im Endlichen, wie beispielsweise auf Flächen, aufweisen.

• Methode der Spiegelladungen
  • Geerdete Halbebene; x = 0

    

    Eine Ladung q befindet sich bei x = -d; y = z = 0. Wir bestimmen das Feld im Halbraum, also für x < 0.

    

    Es wird gefordert, daß bei x = 0 senkrecht auf der Ebene steht. muß im Bereich x < 0 die Poisson-Gleichung erfüllen. Das Feld im Halbraum x < 0 wird durch Ladung und Spiegelladung beschrieben. Mögliche Fragestellungen sind daher:

    • Flächenladungsverteilung im Leiter
    • Induzierte Gesamtladung (-q')
    • Berechne die auf q ausgeübte Kraft
• Geerdete Metallkugel (Radius a) und Punktladung q außerhalb am Punkt :

  

  Wir suchen die Bildladung q’ am Ort ’ im Innern der Kugel, so daß _||=a = 0 ist. Wir verwenden den Ansatz (Ursprung im Mittelpunkt der Kugel):

  

  Es wird definiert:

  

  Aus Symmetriegründen gilt ' = y' _y. Außerdem fordern wir aufgrund der Erdung:

  

  Die Lösung des Problems ist:

  • Wähle y' so, daß gilt:
    

    Dann gilt nämlich:

    

    Dies gilt wegen:

    

  • Wähle q' so, daß

    Also folgt:

    

    Zusammenfassend kann man also sagen, daß gilt:

    
    
    

    Die Poisson-Gleichung ist somit erfüllt und außerdem gilt = 0 auf der Kugeloberfläche. Was uns außerdem noch interessiert, ist das elektrische Feld:

    

    Auf der Kugeloberfläche sollte in radiale Richtung zeigen. Nach Rechnung folgt:

    

    Nachrechnen, verwende (für || = a):

    
    

    Also folgt:

    

    Anschließend berechnen wir noch die Oberflächenladung:

    

    

    Wir tragen wir Funktion in einem Schaubild auf:

    

    Die auf der Kugel induzierte Gesamtladung q' = -q nimmt ab mit wachsendem y und ist gleichmäßiger verteilt, wenn y größer wird. () liefert das von der Punktladung erzeugte Potential. Daraus folgt dann die Greensche Funktion zur Randbedingung _||=a = 0. Der Betrag der auf die Ladung q wirkenden Kraft ist:

    

    q₁ ist hierbei die echte Ladung und q₂ die Spiegelladung.

    

    Die induzierte Ladung ist q' q. Der Abstand zwischen Ladung und Spiegelladung ist 2. Für eine kontinuierliche Verteilung () außerhalb der Kugel gilt:

    

    

    Für kontinuierliche Ladungsdichte () ergibt sich das Potential zu:

    

Analoge Beispiele:

• Kugel mit vorgegebener Ladung Q (nicht geerdet)
  • Berechne Spiegelladung q' für geerdete Kugel wie vorher
    Dann hat man eine Situation, bei der O, und welche die Poisson-Gleichung im Außenraum erfüllt.
  • Addiere homogene Flächenladungsverteilung auf der Kugel
    • Hier gilt wieder O.
    • Die Poisson-Gleichung ist weiterhin gültig.
    • Die Gesamtladung auf der Kugel ist:

• 2 Halbkugeln auf verschiedenem Potential
• Sich schneidende leitende Ebenen

  

3.3.1 Green’sche Funktionen und ihre Anwendungen

Ziel:

• Berechnung von im Gebiet V aus vorgegebenen in V und dem Potential (oder seiner Ableitung) am Rand

• Mathematischer Einschub: Green’sches Theorem
  Wir erinnern an den Gaußschen Satz:

  Wir wählen jetzt ein bestimmtes () = ()(), wobei und zunächst beliebige Skalarfelder sind. Nun folgt:

  

  Nun wird die entsprechende Gleichung subtrahiert, bei der und vertauscht sind:

  

  Dies ist das sogenannte Green’sche Theorem. Oft schreibt man in Lehrbüchern für ()d ()dF ()dF.

• Green’sche Funktion
  Gegeben sei V mit Rand O, (oder alternativ ) auf O vorgegeben (Randbedingungen), sowie die Quellen in V . Bestimme . Dies nennt man „Dirichlet-Randproblem“. (Wenn vorgeben ist, handelt es sich um das Neumann-Randproblem.) Wir suchen G(,') für welches für , ' V gilt:

  Dann kann G zerlegt werden in G(,') = + F(,') und F(,') = 0.

  Beispiel:

  Wenn = 0 auf Kugeloberfläche festgelegt ist, dann ist F(,') = -. Verwende Green’sches Theorem mit (') = G(,') und ' als Integrationsvariable.

  Nun schreiben wir das Potential als:

  
  • Dirichlet-Randwertproblem

    sei auf O vorgegeben. Suche G_D so, daß G_D(,') = 0 für ' O und natürlich weiter G(,') = -4( -'). Das legt G _D eindeutig fest (ohne Beweis)! Dann folgt daraus:

    

    Falls _O = 0 (geerdeter Leiter), so trägt nur der erste Term bei. Der wichtige Punkt ist folgender, daß G_D nur von der Geometrie (V , O) und der Art der Randbedingung (Dirichlet oder Neumann) abhängt, aber nicht von und _O.

    Anmerkung:

    G_D ist symmetrisch, d.h. G_D(,') = G _D(',). Wir beweisen dies über das Green’sche Theorem mit () = G_D(,''), () = G_D(','') und '' als Integrationsvariable.

    (3.1)

    Das Integral über die Oberfläche O ist 0, da die Greenfunktion auf der Oberfläche den Wert 0 annimmt. Daraus folgt dann die Symmetrie:

    Interpretation von F:

    
    

    F ist ein Potential, welches so gewählt wird, daß die Wirkung einer Punktladung bei ' gerade kompensiert wird.

  • Neumann-Randwertproblem

    Wir nehmen an, daß _O gegeben sei, d.h. daß die Feldstärke senkrecht zur Oberfläche gegeben ist. = 0 wäre auf den ersten Blick eine mögliche Lösung, aber es gilt:

    

    dF'G_N(,') muß infolgedessen -4 sein. G _N(,') wird deswegen so gesucht, daß gilt:

    

    Daraus folgt:

    

Beispiel für Dirichlet-Problem:

• G(,') = -4( -')
• G(,') = 0 für || = a

Die Lösung ist gegeben durch das Potential einer Punktladung am Punkt in Anwesenheit einer geerdeten Kugel mit festem a um den Nullpunkt.

Dies kann man nun auch schreiben als:

ist hierbei der Winkel zwischen den Vektoren und '. Sie Symmetrie zwischen , ' ist hier offensichtlich.

ist aus dem Volumen V nach außen gerichtet, also:

Somit folgt, wie man durch Nachrechnen überprüfen kann:

Für vorgegebenes Potential (a,,) in Kugelkoordinaten auf Kugeloberfläche erhält man im Außenraum (ohne zusätzliche Ladung):

Mittels des Skalarprodukts und der obigen Beziehungen folgt:

3.3.2 Laplace-Gleichung mit Randwerten auf Quader/Separation der Variablen

• Karthesische Koordinaten

  Wir machen einen Ansatz:

  

  In die Differentialgleichung eingesetzt, folgt:

  
  

  Jeder Term sei konstant.

  
  
  

  Diese Konstanten müssen nun folgende Beziehungen erfüllen:

  

  Die Lösung ist nun, da die zweite Ableitung einer Exponentialfunktion wieder eine Exponentialfunktion ist:

  
  
  

  Die Lösung von (*) ist X ^. Y ^. Z und beliebige Linearkombination. Wir wählen nun die Linearkombination und , , so, daß die Randbedingungen erfüllt werden.

  Beispiel:

  

  sei somit gleich null auf fünf Flächen. Zuerst berücksichtigen wir die drei Flächen durch den Ursprung:

  
  
  
  

  Daraus folgt nun das Potential:

  

  erfüllt die Randbedingungen = 0 auf 5 Flächen. Die sechste Randbedingung ist bei z = c:

  

  Die A_nm werden nun „passend“ gewählt.

  Forderung:

  

  Wir stellen V (x,y) mittels einer Fourier-Reihe dar. V wird mit folgenden Koeffizienten entwickelt:

  

  Wir bestimmen A_nm:

  
  
  

  3.3.3 Mathematischer Einschub:Orthogonale Funktionen, Entwicklungen, Fourier-Reihen

  Wir erinnern uns an die lineare Algebra (vollständige Orthonormalbasis {_i}):

  • _ij = _ij
  • Der Vektorraum wird aufgespannt durch _iii, wobei _i beliebig ist.

  Jeder Vektor kann dargestellt werden durch:

  

  Die Komponenten v_i sind gegeben durch v_i = _i, d.h. wir entwickeln nach der Basis {_i}. Analog entwickeln wir eine Funktion bezüglich einer Basis, d.h. wir suchen eine Funktion beispielsweise durch Polynome oder durch trigonometrische Funktionen.

Wir schreiben dies in Komponenten:

e_kⁱ ist hierbei die k-te Komponente von _i. Es muß also folglich gelten:

Dies ist die sogenannte Vollständigkeitsrelation. Wir probieren das für den zweidimensionalen Raum aus:

• 1.Wahl:

• 2.Wahl:

Analog dazu entwickeln wir eine Funktion bezüglich eines Orthonormalsystems (beispielsweise von Polynomen oder trigonometrischen Funktionen). Hieraus folgt die Fourier-Entwicklung _________________.
Durch Hinzunahme von immer mehr Funktionen kommt eine bessere Näherung zustande. Forderungen an die Basisfunktionen sind nun:

• Für {U_n()} mit n = 1,2,... und (a,b) soll gelten:

  Wir definieren hier als das Skalarprodukt durch ein Integral. Da wir komplexe Funktionen erlauben, sei U^* eine konjugiert komplexe Funktion.

Eine beliebige Funktion f() werde nun genähert durch:

Wir fordern eine optimale Näherung, d.h. wir definieren M_N als den Abstand der Funktion von der Näherung:

Dieser Abstand sei minimal, so daß die Näherungsfunktion im Mittel möglichst nahe an der Funktion f() liegt. Dann kann man zeigen, daß der Koeffizient a_n folgendermaßen gegeben ist:

Den Beweis schlage man in einem Buch oder Skript der Höheren Mathematik nach.
Das System ist „vollständig“, wenn M_N0 für N. Dann schreiben wir:

Wir vertauschen Integral und Summe:

Daraus folgt:

Jetzt haben wir unsere Vollständigkeitsrelation. Speziell im Intervall gilt:

Falls m ganzzahlig ist, handelt es sich um eine vollständige Orthonormalbasis. Die Fourier-Reihe von f(x) in sei un gegeben durch:

Die Koeffizienten A_m und B_m sind nun gegeben durch:

3.3.4 Laplace-Gleichung in Kugelkoordinaten

In Kugelkoordinaten lautet diese Gleichung:

Hier treten keine gemischten Ableitungen auf, weil es sich beim Kugelkoordinatensystem um ein Orthonormalsystem handelt. Wir substituieren:

Die Substitutionsvariable x ist hier natürlich nicht gleich der karthesischen Koordinaten x!

Wir suchen eine Produktdarstellung für und führen eine Separation der Variablen durch:

Für die Laplace-Gleichung folgt somit:

Wir dividieren durch :

Bei den beiden Termen handelt es sich somit um Konstanten:

Daraus folgt nun die Lösung:

(Warum nicht e^±?) Q() muß eindeutig und stetig in (0,2) sein. m ist also ganzzahlig. Wir erhalten somit:

Die Lösung ist somit gleich:

A, B, l sind zunächst beliebig. Wir leiten U zweimal nach r ab und erhalten:

Die Gleichung für P lautet:

Dies ist die verallgemeinerte Legendre-Gleichung. P_l^m(x) sind die assoziierten Legendre-Funktionen.

Forderung:

• P_l^m ist eindeutig in (-1,1).
• Die Funktion soll endlich und stetig sein.

Zunächst betrachten wir den Grenzfall für m = 0 (für Probleme mit azimuthaler Symmetrie, unabhängig von ):

P_l sind die sogenannten Legendre-Polynome. Somit erhalten wir die Legendre-Gleichung ________________:

Wir haben hier die sogenannte Rodrigues-Formel vor uns. P_l sind Polynome der Form (hier ohne Beweis):

Das Polynom hat den Grad l.

Die Polynome P_l bilden ein Orthogonalsystem, das heißt:

Die Normierung ist hier nicht 1, sondern , wie wir sehen. Jede Funktion auf <-1,1> kann durch _{l = 0}A_lP_l(x) genähert werden. Wir haben somit ein Fundamentalsystem, welches ähnlich wie die Fourierreihe funktioniert. Es handelt sich bei den Funktionen aber nicht um trigonometrische Funktionen, sondern um Polynome.

Beispiel:

Wir nähern f(x):

(3.2)

Somit erhält man eine Näherung von f(x):

3.3.5 Randwertprobleme mit azimuthaler Symmetrie

A_l und B_l folgen aus den Randwerten.

Beispiel:

a,

Ich weiß also, daß das Potential im Innern keine Singularität aufweist. B_l muß infolgedessen 0 sein. A_l erhält man dadurch, daß man V nach Legendre-Funktionen entwickelt:

Wir erhalten somit als Beispiel:

Ein analoges Problem ergibt sich für den Außenraum:

Aus dieser Bedingung geht hervor, daß die Koeffizienten A_l 0 sein müssen, da r^l im Unendlichen nicht gegen 0, sondern gegen unendlich geht. Für B_l folgt:

Aus der Beziehung geht hervor, daß es für große l einen starken Abfall gibt.

Kugelflächenfunktion : m /= 0:

Die verallgemeinerte Legendre-Gleichung lautet, wie wir schon gesehen haben:

Dies hängt nur ab von m². Wir behandeln den Fall m > 0, wobei bei x² = 1 eine Singularität liegt. Folgender Ansatz wird verwendet:

h(x) sei regulär bei x² = 1. Wir untersuchen nun das Verhalten bei x² = 1, wobei wir zwei Terme haben:

• 1.Term:

  (3.3)

• 2.Term:

  Daraus folgt:

  
  

  Wir setzen P_l^m = (1 - x²)h(x)m (*). Dies ergibt eine Differentialgleichung für H mit regulären Koeffizienten. Man kann somit nach kurzer Rechnung zeigen:

  

  Die Gleichung (*) ist somit erfüllt. P_l ist ein Polynom vom Grad l. Daraus folgt:

  
  

  Es wird eine Normierung durchgeführt:

  

Die Kugelflächenfunktionen sind folgendermaßen definiert:

Dies ist auf der Kugeloberfläche das Analogon zur Fourierreihe. Des weiteren gilt:

Beispiele:

Jede Funktion auf der Kugeloberfläche kann folgendermaßen dargestellt werden:

Jede Lösung der Laplace-Gleichung als:

Je nachdem, ob wir fordern, daß regulär im Innern oder bei ist, entfallen B oder A.

3.3.6 Dipole und Multipol-Entwicklung

• Kartesische Koordinaten
  • Dipol:

    Zuerst wollen wir einen Dipol betrachten:

    

    • Punktladung q bei -
    • Punktladung -q bei

    Wir berechnen das Potential im großen Abstand:

    
    

    Wir verwenden die Entwicklung:

    

    Daraus folgt:

    

    Wir betrachten nun einen Punktdipol mit 0, aber mit festem q ^. = .

    

    Wir bezeichnen mit das Dipolmoment. Das Potential fällt proportional zu für x ab. Für das elektrische Feld folgt dann durch Gradientenbildung:

    

    Das elektrische Feld fällt somit proportional zu ab.

  • Multipolentwicklung in kartesischen Koordinaten:

    Dabei handelt es sich um nichts anderes als die bekannte Taylor-Entwicklung in drei Dimensionen, angewendet auf die Elektrostatik.

    

    Gegeben sei eine beliebige Ladungsverteilung () im endlichen Volumen V . Es folgt:

    

    sei weit entfernt von der Ladungsverteilung:

    

    Wir machen somit eine Taylorentwicklung für ||»|'|:

    

    Wir klammern aus und erhalten folgendes Ergebnis:

    

    Wir verwenden nun:

    

    Somit folgt:

    (3.4)

    Wir nutzen dies bei der Näherung des Potentials (*) aus:

    Folgende Terme werden unterschieden:

    • Gesamtladung (Monopol-Moment): q = _V (')d³x'
    • Dipol-Moment: = _V '(')d³x'
    • Quadrupol-Moment: Q_ij = _V (')d³x'

    Für kugelsymmetrische Verteilungen verschwindet , Q_ij, .... Für die Wechselwirkungsenergie einer Ladungsverteilung () in einem von außen vorgegebenen Potential () folgt:

    

    Im Bereich der Ladungsverteilung () sei () nur schwach veränderlich.

    (3.5)

    Wir verwenden:

    Somit folgt für die Wechselwirkungsenergie:

    

    Quadrupolmomente Q_ij haben nur 5 unabhängige Komponenten wegen der Symmetrie des Quadrupoltensors:

    

    Dies ergibt drei Gleichungen. Berechnen wir die Spur des Tensors, so folgt daraus nochmal eine Gleichung:

    

    Also bleiben von den neun Komponenten fünf unabhängige übrig. Q_ik kann durch geeignete Wahl des Koordinatensystems diagonalisiert werden. Die Summe über die Eigenwerte verschwindet, wobei also nur noch zwei Komponenten unabhängig voneinander sind:

    

• Darstellung in Polarkoordinaten:

  Vorerst eine kleine Wiederholung dessen, was wir schon gelernt haben:

  
  

  Wir führen eine Separation der Variablen durch:

  

  Mit x = cos folgt und durch Multiplikation mit folgt:

  
  
  
  

  P_l^m sind die assoziierten Legendre-Polynome und P_l(x) die Legendre-Polynome. Man führt an dieser Stelle die Kugelflächenfunktionen ein:

  

  Das besondere an dieses Kugelflächenfunktionen ist nun, daß die ein orthonormiertes Basissystem bilden:

  

  Es sind also geeignete Funktionen für eine Entwicklung:

  
  

  Daraus folgt die sehr wichtige Formel:

  

  Die Kugelflächenfunktionen nähern Funktionen an, welche so ähnlich sind die Kugelflächenfunktionen. Sie beschreiben also solche Systeme, die man sehr gut durch Polarkoordinaten ausdrücke kann. Aber nun zurück zur Multipolentwicklung:
  Wir verwenden die Forderung, daß (r) = 0 ist:

  

  Dies gilt außerhalb der Region mit Ladung. Es ist eine Entwicklung nach abfallenden Potenzen in r. Des weiteren verwenden wir folgende Gleichung:

  

  Diese wird in () eingesetzt, wobei man die Multipolmomente erhält:

  
  

  Somit erhält man:

  
  

  q_2m ist linear in Q_ik (siehe Übung). Wir betrachten F' || , also den axialsymmetrischen Fall (m = 0):

  

  

  Wir bestimmen A_l0, B_l0 für den Fall ||' || :

  

  Wobei r_> = max(r,r') und r_< = min(r,r') ist. Damit folgt:

  

  Den allgemeinen Fall erhält man mit Hilfe des Additions-Theorems für sphärische Harmonische. Das Legendre-Polynom von cos kann man ausdrücken über eine Reihe von Kugelflächenfunktionen:

  

  ist der Winkel zwischen r und r'. Dann ergibt sich: