3.6 Ein eindimensionales Streuproblem

Der Einfachheit halber betrachten wir als Potential eine -Funktion. Die Barriere nimmt keine Energie auf. Die Streuung ist somit elastisch. Wir können dies durch stationäre Zustände beschreiben. Die stationäre Schrödinger-Gleichung dazu lautet:

Wir machen zuvor einen Einschub über die Analytizität der Lösung der Schrödinger-Gleichung. Dazu schreiben wir diese um. Wir trennen die Anteile, in denen die Ableitung von und selbst vorkommt:

Wir betrachten hierbei folgende Fälle:

• V (x) muß stetig differenzierbar sein.

  Daraus ergibt sich dann, daß (x) und natürlich aus '(x) stetig differenzierbar ist.

• V (x) hat einen Sprung.

  (x) muß hierbei differenzierbar sein. '(x) muß stetig sein und einen Knick haben.

• V (x) ~ (x)

  Dieser Fall führt auf die inhomogene Schrödingergleichung.

  

  Damit erhalten wir:

  

  (x) muß somit stetig sein und '(x) einen Sprung haben.

Wir erhalten als allgemeine Lösungen:

• Fall 1: x < 0

• Fall 2: x > 0

(x) ist stetig in x = 0. Damit folgt also:

'(x) hat an der Stelle 0 einen Sprung, womit gilt:

Wir betrachten den Grenzfall D = 0 mit den freien Parametern k, V ₀, A. Dann ergibt sich

Wir erhalten folgenden Transmissionskoeffizienten:

Außerdem gilt für den Reflexionskoeffizienten:

Infolge der Teilchenerhaltung resultiert die Beziehung T = 1 - R.

Einschub: Endliche Potentialbarriere

Die Schrödinger-Gleichung lautet:

• Aus V ₀ = 0 ergibt sich F > 0.
• Mit V ₀ > E haben wir F < 0.

Die Lösung muß von der Form exp sein.

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