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3.9 Aufhebung der m-Entartung durch ein B-Feld (Zeeman-Effekt)

( ) H^0 = -1-^p2 + V (| r|) ==> H^0 + ^H1 + ^H2 =-1 p - Q.A 2 + V (| r| ) 2m 2m

p ist der kanonische Impuls -ih \~/ . Der kinetische Impuls folgt durch:

pkin = mv = p+ eA

Für die Entartung ergibt sich dann:

H1 = - M .B

Wir berechnen das magnetische Moment durch:

--|e| M = 2m L

Das B-Feld wird durch ein Vektorpotential charakterisiert:

B = rotA

Beispielsweise gilt für B = (0,0,B):

(-By, 0,0) { (0,Bx, 0) A = ( B B ) 1 - 2-y,2-x,0 = 2B × r

(p+ eA)2 = p2 + e (pA+ Ap)+ e2A2

Der Operator ist - Gott sei Dank - vertauschbar, falls div A = 0 ist, was hier auch gilt (p^ xÂx = Âx^p x, da ^p x mit y vertauscht).

( ) 1 ( ) B2 ( ) B2 ( ) p+ eA = p2 + 2e.-p. B × r +e2 .--- x2 + y2 = p2 + eB (r× p)+ e2 . x2 +y2 = ( 2 ) 2 2( 4) 4 = p2 + e L .B + e-B-- x2 + y2 4
(3.7)
Damit gilt also:
^2 ( ) 2 2( ) H^ = p--+ V (| r| )+ -e-L .B + e-B-- x2 + y2 2m -2m- ---- 8m--- ----- H^1 H^2

Wir vernachlässigen nun den Operator ^H2 für kleine B-Felder, woraus sich dann ergibt:

eB ^H = H^0 + ---Lz 2m~

^H, ^L2 und L^z ist dabei ein maximales System vertauschbarer Bewegungsintegrale. Die Eigenzustände ergeben sich durch Betrachtung der Schrödinger-Gleichung:

H^Y = E(B)Y

^H und H^0 haben dieselben Eigenzustände:

E (B) = E (0)+ eB-hm = E (0)+ -ehBm nlm n 2~m n 2m~

Wir definieren geschickterweise das sogenannte Bohrsche Magneton:

eh J mB = 2m-- = 9,27.10-24T- el

PIC

PIC

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