4.1 Vektor-Raumstruktur, lineare Operatoren

Es sei von den Elementen (x), (x), usw die Rede. Diese sollen quadratintegrabel sein:

Betrachten wir einen Vektorraum Z. In diesem gelten folgende Axiome:

• Addition
  • Kommutativgesetz:

  • Assoziativgesetz:

  • + = gelte für beliebige , . Dann gilt auch = - .
  • Existenz eines Nullelements = 0 mit + 0 = .
• Multiplikation mit komplexen Zahlen c .
  • C
  • (C₁ + C₂)
  • C₁(C₂) = (C₁C₂)
  • C(₁ + ₂) = C₁ + C₂ Z

  4.1.1 Lineare Unabhängigkeit

  ₁, ₂, ..., _n heißen linear unabhängig, wenn aus _{i = 1}ⁿC_ii = 0 als einzige Lösung C_i = 0 folgt. Sonst sind die Elemente linear abhängig,

  4.1.2 Basis

  Eine Basis ist eine Menge linear unabhängiger Vektoren ₁, ₂, ..., _n derart, daß jedes Z durch Linearkombination darstellbar ist:

  n ist die Dimension von Z, also die maximale Anzahl linear unabhängiger Vektoren. Für die Quantenmechanik eines Teilchens im Potential gilt dim = (Hilbert-Raum). Betrachten wir als Beispiel ein Teilchen im Kasten. Die -Eigenzustände sind:

  

  Das Verfahren nach Entwicklung einer Basis heißt Fourier-Reihen-Bildung.

In speziellen Vektorräumen, wie beispielsweise dem Hilbert-Raum, wird außerdem gefordert, daß die Funktionen quadratintegrierbar sind:

Es kann außerdem gezeigt werden, daß im Hilbert-Raum die Basis abzählbar ist.

• Teilchen im Kasten
• Freies Teilchen

  Geschickterweise sind diese Funktionen auf -Funktionen normiert:

  

Die Funktion kann mittels einer Fouriertransformation geschrieben werden:

Man könnte meinen, daß die Funktion (x) normierbar sein muß, damit C(k) eine Funktion ist. Tatsächlich reicht aber bereits absolute Normierbarkeit aus:

Des weiteren kann ein Skalarprodukt auf einem Vektorraum folgendermaßen definiert werden:

In unserem Falle ist und dann direkt gegeben durch folgendes Integral:

Folgende Eigenschaften sind hierbei relevant:

• Bildung des konjugiert Komplexen:

• Linearität bezüglich der Addition:

• Linearität bezüglich der Multiplikation mit einem Skalar c:

• (,) > 0, (,) = 0 dann und nur dann, wenn = 0 (Null-Vektor) ist
• Schwarzsche Ungleichung:

  Wir wollen dies beweisen. Es seien , zwei beliebig feste Elemente Z mit :

  

  Dann werten wir folgendes Skalarprodukt aus:

  

  Wir suchen das Minimum bezüglich = ₁ + ₂. und ^* sind hierbei unabhängig voneinander:

  

  Daraus folgt dann:

  

  Durch Einsetzen dieses Minimums folgt dann:

  

  Durch Multiplikation mit (,) erhält man dann die Schwarzsche Ungleichung.

• Orthonormalbasen:
  • Diskrete Verteilungen:

  • Kontinuierliche Funktionen:

4.1.3 Lineare Operatoren auf Z

 kann beispielsweise x oder -i sein. Wir fordern:

Â^† nennt man adjungiert zu Â. Gilt Â^† = Â, so heißt der Operator selbst-adjungiert oder in der Physik hermitesch.

Für den Impulsoperator gilt beispielsweise (ohne Berücksichtigung des irrelevanten Vorfaktors):

Satz:

Beweis:

Wir nehmen diese Gleichung konjugiert komplex:

Mit der ersten Eigenschaft des Skalarprodukts gilt dann:

Mit der Hermitizität des Operators, also  = Â^† folgt:

Wir erhalten also:

Damit gilt also a = a^*.

Ein unitärer Operator ist ein solcher, welcher das Skalarprodukt unverändert läßt:

Der Operator beschreibt dann beispielsweise Drehungen oder Spiegelungen.

Der reziproke Operator ist definiert durch:

Dieser existiert dann nicht, wenn den Eigenwert Null besitzt. Für einen selbstadjungierten Operator, also  = Â^† gilt, wie wir schon gezeigt haben:

• Eigenwerte sind reell
• Eigenfunktionen zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal

  Wir wollen dies beweisen:

  
  

  Damit gilt dann:

  
  

  Wir bilden das konjugiert komplexe der zweiten Gleichung:

  

  Wir verwenden nun, daß Â selbstadjungiert ist:

  

  Diese Gleichung wird nun von der ersten ursprünglichen Gleichung subtrahiert:

  

  Damit ist die Aussage bewiesen!

Die Eigenwerte eines unitären Operators U^-1 = U^† sind vom Betrag 1, das heißt:

Wir dividieren durch und multiplizieren mit U^-1:

Wir notieren nun:

Durch komplexe Konjugation der zweiten Gleichung folgt:

Durch Subtraktion dieser Gleichung von der ersten folgt:

Damit gilt:

4.1.4 Zeitentwicklung

Wir denken uns die anfänglich gegebene Wellenfunktion nach Eigenfunktionen des Hamilton-Operators entwickelt:

4.1.5 Impulsdarstellung

Die Übersetzungsregeln lauten wir folgt:

• Zugang zur Quantenmechanik mit , , (x), [ ,] = i
• Zugang zur quantenmechanischen Übersetzung in Operatoren

  Wir haben folgende kanonische Transformationen:

  
  

Beispiel: Harmonischer Oszillator

Dieser gilt sowohl in Impuls- als auch in Ortsdarstellung. In dimensionslosen Variablen folgt:

Das gilt aber nur für den harmonischen Oszillator.